Kolokwium poprawkowe z analizy matematycznej

WETI, 2 sem., r. ak. 2006/2007

1. Rozwinąć w szereg trygonometryczny Fouriera funkcję f (x) = 3 − |x| w przedziale |x| ¬ 6 .

2. a) Sprawdzić czy funkcja u = arctg (2x − y) spełnia równanie różniczkowe u

xx

+ 2u

xy

= 0.

b) Pokazać, że nie istnieje granica funkcji f (x, y) =

4xy

x

2

−y

2

w punkcie (0, 0).

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. a) Znaleźć ekstrema lokalne funkcji z = e

x
3

(x + y

2

).

b) Stosując definicję różniczki zupełnej obliczyć przybliżoną wartość z = 2x + y −

√

x

2

+ y

2

,

gdy x

0

= 3, y

0

= 4, dx = 0, 02 i dy = 0, 1.

4. Obliczyć

Z

D

Z

y

x

2

dxdy, gdzie obszar D określony jest nierównościami 1 ¬ x

2

+ y

2

¬ 2x.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. a) Obliczyć całkę

Z

K

cos 4ydx − 4x sin 4ydy po dowolnym łuku gładkim od punktu A(1,

π

6

) do

B(2,

π

4

).

b) Omówić dwa zastosowania geometryczne całek krzywoliniowych nieskierowanych (podać
odpowiednie wzory i wykonać rysunki).

6. a) Obliczyć całkę powierzchniową

Z

S

Z

(2y + z)dS

gdzie S jest częścią płaszczyzny 3x + 3y + z = 9 zawartą wewnątrz powierzchni x

2

+ y

2

= 4y.

b) Wyprowadzić jakobian przekształcenia dla współrzędnych sferycznych dowolnego typu.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. *) [dla chętnych] Znaleźć funkcję holomorficzną f (z), gdy dana jest jej część rzeczywista

u(x, y) = x

2

− y

2

+ 2x.