Egzamin/kolokwium poprawkowe z przedmiotu

„Analiza matematyczna i algebra liniowa”

WETI, kierunki AiR, EiT i IBM, 2 sem., r. ak. 2009/2010

1. [7p.] a) Stosując całki potrójne obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami

x

2

+ y

2

= 2z

2

i

x

2

+ y

2

= 3 − z

znajdującej się wewnątrz tych powierzchni. Wykonać odpowiedni rysunek.
[2p.] b) Wyprowadzić jakobian przekształcenia dla współrzędnych walcowych.

2. [7p.] Uzasadnić, że całka

Z

L

2y sin 2xdx − cos 2xdy

nie zależy od drogi całkowania. Wyznaczyć jej wartość, gdy łuk L jest dowolnym łukiem
gładkim skierowanym od punktu A(

π

4

, 2) do punktu B(

π

6

, 1).

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. [7p.] a) Wyznaczyć gradient pola skalarnego F (x, y, z) = z − arctg

x

y

. Dla otrzymanego

pola wektorowego ~

W = grad F wyznaczyć jego dywergencję.

[2p.] b) Zdefiniować i podać przykład gładkiego płata powierzchniowego względem płaszczy-
zny XOY .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. [7p.] Wyznaczyć całkę szczególną równania y

0

− xy = xe

x

2

spełniającą warunek począt-

kowy y(0) = 1.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. [7p.] a) Wyznaczyć przedział zbieżności (określić rodzaj zbieżności na końcach przedziału)

i znaleźć sumę szeregu potęgowego

∞

X

n=0

x

n

n3

n

[2p.] b) Podać dwa przykłady szeregów liczbowych rozbieżnych, z których jeden spełnia,
a drugi nie spełnia warunku koniecznego zbiezności. Odpowiedź uzasadnić.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6. [7p.] a) Stosując transformatę Laplace’a wyznaczyć rozwiązanie równania różniczkowego

y

00

+ 4y = e

t

przy zadanych warunkach początkowych y(0) = 0, y

0

(0) = 1.

[2p.] b) Wyprowadzić wzór na transformatę Laplace’a oryginału f (t) = e

2t

.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. *) [dla chętnych] [5p.] Na podstawie definicji zbadać zbieżność szeregu liczbowego

∞

X

n=2

ln

1 −

1

n

2