Egzamin poprawkowy z matematyki, 2 sem. WBWiI´

S, r. 2002/2003

Nazwisko i imi¸

e ........................................................................................... Grupa ..........

I. Cz¸

e´

s´

c zadaniowa

1. Wyznaczy´

c ekstrema funkcji f (x, y) = x

2

+ xy + y

2

− 4lnx − 10lny.

2. a) Zbada´

c zbie˙zno´

s´

c szeregu liczbowego

∞

X

n=1

(2n)!

n

2n

.

b) Wyznaczy´

c obszar zbie˙zno´

sci szeregu i zbada´

c zbie˙zno´

s´

c na ko´

ncach przedzia lu

∞

X

n=1

(−1)

n

3

n−1

√

n

x

n

3. Rozwi¸

aza´

c r´

ownanie y

0

− y tg t = − sin 2t

cos t .

4. Wyznaczy´

c ekstrema funkcji f (x, y) = e

y−x

(y

2

− 2x

2

).

5. Obliczy´

c

Z

Z

B

Z

z

x

2

+ y

2

dx dy dz, gdzie B jest po lo˙zonym na zewn¸

atrz walca x

2

+y

2

= 1

4

obszarem ograniczonym powierzchniami x

2

+ y

2

+ z

2

= 2 i z =

p

x

2

+ y

2

.

6. Obliczy´

c

Z

K

(1 + ln x +

y

x

) dx − (1 − ln x) dy po dowolnym luku g ladkim od punktu

A(e, 2) do B(1, 1) le˙z¸

acym w pasie x > 0.

II. Cz¸

e´

s´

c teoretyczna

T.1 Sformu lowa´

c twierdzenie o r´

o˙zniczkowalno´

sci funkcji uwik lanej.

Poda´

c przyk lad

funkcji, danej w spos´

ob uwik lany, spe lniaj¸

acej za lo˙zenia tego twierdzenia oraz policzy´

c

jej pochodn¸

a w wybranym punkcie.

T.2 Poda´

c definicj¸

e obszaru normalnego wzgl¸

edem osi OX. Poda´

c przyk lad obszaru

(wykona´

c rysunki), kt´

ory jest

a) normalny wzgl¸

edem osi OX, a nie jest normalny wzgl¸

edem osi OY ,

b) normalny wzgl¸

edem osi OY , a nie jest normalny wzgl¸

edem osi OX,

c) normalny zar´

owno wzgl¸

edem osi OX jak i osi OY .

T.3 Sformu lowa´

c twierdzenie o rozwijaniu funkcji w szereg Taylora.

Korzystaj¸

ac z

rozwini¸e´

c podstawowych funkcji elementarnych przedstawi´

c w postaci szeregu Maclau-

rina funkcj¸

e f (x) = cos

2

x. Poda´

c przedzia l zbie˙zno´

sci otrzymanego szeregu.

T.4 Poda´

c twierdzenie Greena i poda´

c przyk lad (z rozwi¸

azaniem) obliczania ca lki przy

zastosowaniu tego twierdzenia.