Egzamin z matematyki, 2 sem. WBWiI´

S, r. 2002/2003

Nazwisko i imi¸e ........................................................................................... Grupa ..........

I. Cz¸e´s´

c zadaniowa

1. Wyznaczy´c najwi¸eksz¸a i najmniejsz¸a warto´s´c funkcji z = x

2

+ 2xy − 4x + 8y w

prostok¸acie, kt´orego boki znajduj¸a si¸e na prostych x = 0, y = 0, x = 1 i y = 2.

2. a) Wyznaczy´c sum¸e szeregu liczbowego

∞

X

n=1

1

16n

2

− 8n − 3

.

b) Zbada´c zbie˙zno´s´c szeregu

∞

X

n=1

(n − 1)!(n + 3)!5

n

(2n)!

3. Rozwi¸aza´c r´ownanie y

0

+ 2y

x =

2

√

y

cos

2

x

.

4. Za pomoc¸a caÃlki podw´ojnej obliczy´c obj¸eto´s´c bryÃly ograniczonej powierzchniami

z = x

2

+ y

2

, z = 0 oraz x

2

+ y

2

= x i x

2

+ y

2

= 2x (dla x ≤ x

2

+ y

2

≤ 2x).

5. Obliczy´c

Z

C

(2xy +

y

2

√

x + 1

) dx + (x

2

+

√

x + 1) dy po dowolnej krzywej C (nie prze-

chodzodz¸acej przez prost¸a x = −1) od punktu A(0, 0) do B(3, 1).

6. Korzystaj¸ac ze wzoru Cauchy’ego obliczy´c

I

K

z sin πz

z

4

− 1

dz, gdzie K jest Ãlaman¸a zamkni¸e-

t¸a przechodz¸ac¸a przez punkty 0, −2 + i oraz −2 − i.

II. Cz¸e´s´

c teoretyczna

T.1 Poda´c definicj¸e pochodnej cz¸astkowej rz¸edu pierwszego funkcji dw´och zmiennych.

SformuÃlowa´c twierdzenie Schwarza. Sprawdzi´c jego prawdziwo´s´c na dowolnym przy-
kÃladzie.

T.2 SformuÃlowa´c twierdzenie o zamianie zmiennych w caÃlce potr´ojnej. Poda´c dowolny

przykÃlad zamiany zmiennych w caÃlce potr´ojnej i wyprowadzi´c jego jakobian.

T.3 Poda´c definicj¸e promienia i przedziaÃlu zbie˙zno´sci szeregu pot¸egowego. SformuÃlowa´c

dwa kryteria wyznaczania promienia zbie˙zno´sci. Wyznaczy´c przedziaÃl zbie˙zno´sci dla
dowolnego szeregu pot¸egowego.