Egzamin i zaliczenie poprawkowe z matematyki

Termin dodatkowy, WBWiI´

S, 2 sem., r. akad. 2002/2003

1. Wyznaczy´c ekstrema lokalne funkcji uwikÃlanej y = y(x) okre´slonej r´ownaniem

x

3

y − 3xy

3

+ 32 = 0.

SformuÃlowa´c warunek wystarczaj¸acy istnienia ekstremum lokalnego funkcji dw´och
zmiennych.

2. Wyznaczy´c caÃlk¸e szczeg´oln¸a zagadnienia

(

y

0

− 9x

2

y = −3(x

5

− x

2

)

3

p

y

2

y(0) = 125

3. Obliczy´c

Z

C

(2xy +

y

2

√

x + 1

) dx + (x

2

+

√

x + 1) dy po dowolnym Ãluku gÃladkim od

punktu A(0, 0) do B(3, 1).
SformuÃlowa´c twierdzenie Greena.

4. Korzystaj¸ac ze wzoru caÃlkowego Cauchy’ego obliczy´c

I

K

sin

π

6

zi

(z

2

+ 4)

3

dz, gdzie K jest

dodatnio skierowanym brzegiem elipsy o r´ownaniu x

2

+

(y − 2)

2

4

= 1.

5. Obliczy´c caÃlk¸e

ZZ

D

2y dxdy, gdzie D jest obszarem ograniczonym przez krzywe

y =

√

x, x + y = 2 i y = 0.

6. Za pomoc¸a caÃlki potr´ojnej obliczy´c obj¸eto´s´c bryÃly ograniczonej powierzchni¸a

x

2

+ y

2

+ z

2

= 2z dla y ≤ 0.

SformuÃlowa´c twierdzenie o zamianie zmiennych w caÃlce potr´ojnej.

7. Wyznaczy´c przedziaÃl zbie˙zno´sci szeregu

∞

X

n=1

(−1)

n

(x + 1)

n

√

n · 3

n

i zbada´c jego zbie˙zno´s´c na ko´

ncach przedziaÃlu.