Egzamin i zaliczenie poprawkowe z matematyki

Termin II, WBWiI´

S, 2 sem., r. akad. 2001/2002

1. Wyznaczy´c ekstrema lokalne funkcji uwikÃlanej y = y(x) okre´slonej r´ownaniem

y

4

− 8xy − 4y + 8x

2

= 0.

SformuÃlowa´c warunek wystarczaj¸acy istnienia ekstremum lokalnego funkcji dw´och
zmiennych.

2. Wyznaczy´c przedziaÃl zbie˙zno´sci szeregu

∞

X

n=2

(−1)

n

(x − 2)

n

p

(n − 1)4

n

i zbada´c jego zbie˙zno´s´c na ko´

ncach przedziaÃlu.

3. Obliczy´c caÃlk¸e

ZZ

V

Z

(x+2z) dxdydz, gdzie V = {(x, y, z) ∈ IR

3

: x

2

+y

2

+z

2

≤ 2, x ≤ 0, y ≥ 0, z ≤ 0}

4. Wyznaczy´c caÃlk¸e szczeg´oln¸a zagadnienia







y

0

+ 3y

x = e

x

4

y(1) = e/4

Poda´c definicj¸e zagadnienia Cauchy’ego oraz definicj¸e caÃlki szczeg´olnej r´ownania
r´o˙zniczkowego.

5. Obliczy´c

Z

S

Z

√

1 + 4z · x

3

dS, gdzie S jest cz¸e´sci¸a powierzchni z = y

2

zawart¸a

mi¸edzy pÃlaszczyznami x = 0, x = 2 i z = 4.
SformuÃlowa´c twierdzenie Greena.

6. Zbada´c holomorficzno´s´c funkcji f (z) = i − 1z + (z + i)

2

.