Kolokwium zaliczeniowe z przedmiotu „Analiza matematyczna II”

WETI, kierunek IBM, 2 sem., r. ak. 2011/2012

1. [7p.] a) Obliczyć całkę

ZZ

V

Z

z

2

q

x

2

+ y

2

+ z

2

dxdydz,

gdzie bryła V opisana jest nierównościami: 0 ¬ z ¬

√

4 − x

2

− y

2

oraz x ­ 0, y ­ x. Wykonać

odpowiedni rysunek.
[2p.] b) Wyprowadzić jakobian przekształcenia dla współrzędnych walcowych uogólnionych.

2. [7p.] a) Korzystając z twierdzenia Greena obliczyć całkę

Z

K

y

2

dx + x

2

dy,

gdzie K jest krzywą o równaniu (x − 1)

2

+ y

2

= 1 zorientowaną dodatnio. Wykonać odpowiedni

rysunek.

[2p.] b) Wyznaczyć rotację pola wektorowego ~

W =

"

xy

2

,

x

yz

, z

q

y

3

#

.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. [7p.] a) Wyznaczyć całkę szczególną równania

2(xe

−y

− 1)dx + (e

y

− x

2

e

−y

)dy = 0

spełniającą warunek początkowy y(3) = 0.

[2p.] b) Sprawdzić, czy równanie y

0

= −

4x

2

+ 3xy + y

2

4y

2

+ 3xy + x

2

jest równaniem różniczkowym jednorodnym.

4. [7p.] Wyznaczyć całkę ogólną równania y

00

− 6y

0

+ 9y = xe

3x

.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. [7p.] Zbadać zbieżność szeregów liczbowych i w punkcie b) określić jej rodzaj

a)

∞

X

n=1

3

2n

n

n

2

(n + 2)

n

2

b)

∞

X

n=1

(−1)

n+1

√

n

3

+ 1

[2p.] c) Zbadać z definicji zbieżność szeregu

∞

X

n=1



n

√

3 −

n+1

√

3



.

6. [7p.] Rozwinąć funkcję f (x) = ln(2 + x) w szereg Taylora w otoczeniu punktu x

0

= 1. Podać

przedział zbieżności otrzymanego szeregu.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. *) [dla chętnych] [5p.] Funkcja f (x) = x(π − x) dla x ∈ (0, π) posiada rozwinięcie w szereg

trygonometryczny Fouriera postaci

f (x) =

∞

X

n=1

4

πn

3

[1 − (−1)

n

] sin nx.

W oparciu o to rozwinięcie wyznaczyć sumę szeregu

∞

X

n=1

(−1)

n−1

(2n − 1)

3

.