Kolokwium zaliczeniowe z przedmiotu „Algebra liniowa”
WETI, kierunki AiR i IBM, 1 sem., r. ak. 2012/2013
1. [7 p. ] a) Wyznaczyć zbiór tych liczb rzeczywistych x, dla których macierz
x
0
1
A = 1 x − 1 0
1
1
1
jest odwracalna. Następnie wyznaczyć A− 1 przyjmując x = 1.
[2 p. ] b) Dana jest macierz diagonalna nieosobliwa trójkątna dolna A stopnia 4 i macierz B
wymiaru 4 × 2. Podać jakiego wymiaru, o ile istnieją, są macierze BT A i A− 1 BBT A. Odpowiedź
uzasadnić.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. [7 p. ] a) W oparciu o twierdzenie Kroneckera-Capelliego określić liczbę rozwiązań układu równań
x 1 + x 2 − x 3 = 3
2 x 1 − x 2 + x 3 = 0
x
2 + 3 x 3 = − 6
− 3 x 1 + x 3 = − 5
[2 p. ] b) Podać po jednym przykładzie macierzy wymiaru m × n, przy min( m, n) 4, z których jedna jest rzędu drugiego, a druga rzędu trzeciego. Odpowiedź uzasadnić odpowiednimi obliczeniami.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. [7 p. ] a) Wyznaczyć symetryczne odbicie początku przestrzennego układu współrzędnych wzglę-
dem płaszczyzny π o równaniu
π : 2 x + y − z + 4 = 0
[2 p. ] b) Obliczyć objętość czworościanu o wierzchołkach A(1 , 2 , 0), B(2 , 1 , − 1), C( − 1 , 0 , − 1) i D(2 , 1 , 1).
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. [4 p. ] a) Wyznaczyć
q
√
4 − 8 + 8 3 i
Wynik zinterpretować na płaszczyźnie zespolonej.
[5 p. ] b) Znaleźć funkcję holomorficzną, gdy dana jest jej część urojona v( x, y) = 2 ln( x 2 + y 2).
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. [7 p. ] a) Znaleźć oryginał, gdy dana jest transformata Laplace’a 3 s 2 − 2 s + 9
F ( s) = s 3 − s 2 + 4 s − 4
wiedząc, że s = 1 jest jednym z pierwiastków wielomianu w mianowniku.
[2 p. ] b) Wyprowadzić wzór na transformatę Laplace’a funkcji f ( t) = cos t.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6. *) [ dla chętnych] [4 p. ] Narysować na płaszczyźnie zespolonej zbiór
4 π
z ∈ C : | 2 iz + 4 | < 6 ∧ Arg z ¬ 3