Kolokwium zaliczeniowe z przedmiotu „Algebra liniowa”

WETI, kierunki AiR i IBM, 1 sem., r. ak. 2013/2014

1. [7p.] a) Wyznaczyć macierz X z równania

B

−1

X(4A)

−1

= (A

−1

B)

−1

gdzie

A =

"

1 2
0 1

#

,

B =

"

2

2

−1 1

#

[2p.] b) Podać po jednym przykładzie macierzy trójkątnej dolnej osobliwej stopnia piątego i
macierzy diagonalnej nieosobliwej stopnia czwartego.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. [7p.] a) Dla jakich wartości parametru k układu równań











x + 2y + (2 − k)z = 0
x + (2 − k)y + 2z = 0

(1 − k)x + 2y + 2z = 0

ma niezerowe rozwiązania? Znaleźć te rozwiązania.
[2p.] b) Podać po jednym przykładzie macierzy stopnia n ­ 4, z których jedna jest rzędu
pierwszego, a druga rzędu trzeciego. Odpowiedź uzasadnić odpowiednimi obliczeniami.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. [7p.] a) Sprawdzić, czy proste l

1

i l

2

o równaniach

l

1

: x + 3 =

y + 1

2

= z + 1

i

l

2

: x = −4 + 3t, y = 2 + t, z = t, t ∈ R

się przecinają. Jeśli tak, wyznaczyć punkt przecięcia tych prostych.
[2p.] b) Znaleźć długość wektora ~a = 5~

p − 4~

q, wiedząc że |~

p| = 2, |~

q| = 5 i

6

(~

p, ~

q) =

2π

3

.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. [5p.] a) Rozwiązać w płaszczyźnie zespolonej równanie

z

2

=

√

3 − 4i + 2

√

3

2

+

i

2

!

7

[4p.] b) Korzystając ze wzoru całkowego Cauchy’ego lub jego uogólnienia obliczyć całkę

I

C

z

3

dz

z

2

+ 4

,

gdzie C jest krzywą o równaniu |z −i| = 2 zorientowaną dodatnio. Wykonać rysunek tej krzywej
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. [7p.] a) Znaleźć oryginał, gdy dana jest transformata Laplace’a

F (s) =

2s

3

+ 2s

2

+ 3s + 3

s

4

+ s

3

+ s

2

.
[2p.] b) Wyznaczyć transformatę funkcji f (t) = sin

2

$t.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6. *) [dla chętnych] [4p.] Znaleźć wartości własne i wektor własny odpowiadający ujemnej wartości

własnej macierzy

A =






1 0

3

0 2 −1
0 0 −1




