Kolokwium zaliczeniowe z przedmiotu „Algebra liniowa”

WETI, kierunki AiR i IBM, 1 sem., r. ak. 2012/2013

1. [7p.] a) Wyznaczyć zbiór tych liczb rzeczywistych x, dla których macierz

A =






x

0

1

1 x − 1 0
1

1

1






jest odwracalna. Następnie wyznaczyć A

−1

przyjmując x = 1.

[2p.] b) Dana jest macierz diagonalna nieosobliwa trójkątna dolna A stopnia 4 i macierz B
wymiaru 4×2. Podać jakiego wymiaru, o ile istnieją, są macierze B

T

A i A

−1

BB

T

A. Odpowiedź

uzasadnić.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. [7p.] a) W oparciu o twierdzenie Kroneckera-Capelliego określić liczbę rozwiązań układu równań



















x

1

+ x

2

− x

3

= 3

2x

1

− x

2

+ x

3

= 0

x

2

+ 3x

3

= −6

−3x

1

+ x

3

= −5

[2p.] b) Podać po jednym przykładzie macierzy wymiaru m × n, przy min(m, n) ­ 4, z
których jedna jest rzędu drugiego, a druga rzędu trzeciego. Odpowiedź uzasadnić odpowiednimi
obliczeniami.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. [7p.] a) Wyznaczyć symetryczne odbicie początku przestrzennego układu współrzędnych wzglę-

dem płaszczyzny π o równaniu

π : 2x + y − z + 4 = 0

[2p.] b) Obliczyć objętość czworościanu o wierzchołkach A(1, 2, 0), B(2, 1, −1), C(−1, 0, −1) i
D(2, 1, 1).

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. [4p.] a) Wyznaczyć

4

q

−8 + 8

√

3i

Wynik zinterpretować na płaszczyźnie zespolonej.
[5p.] b) Znaleźć funkcję holomorficzną, gdy dana jest jej część urojona v(x, y) = 2 ln(x

2

+ y

2

).

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. [7p.] a) Znaleźć oryginał, gdy dana jest transformata Laplace’a

F (s) =

3s

2

− 2s + 9

s

3

− s

2

+ 4s − 4

wiedząc, że s = 1 jest jednym z pierwiastków wielomianu w mianowniku.
[2p.] b) Wyprowadzić wzór na transformatę Laplace’a funkcji f (t) = cos t.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6. *) [dla chętnych] [4p.] Narysować na płaszczyźnie zespolonej zbiór



z ∈ C : |2iz + 4| < 6 ∧ Arg z ¬

4π

3