Kolokwium zaliczeniowe z przedmiotu „Algebra liniowa”
WETI, kierunki AiR i IBM, 1 sem., r. ak. 2012/2013
1. [7p.] a) Wyznaczyć zbiór tych liczb rzeczywistych x, dla których macierz
A =
x
0
1
1 x − 1 0
1
1
1
jest odwracalna. Następnie wyznaczyć A
−1
przyjmując x = 1.
[2p.] b) Dana jest macierz diagonalna nieosobliwa trójkątna dolna A stopnia 4 i macierz B
wymiaru 4×2. Podać jakiego wymiaru, o ile istnieją, są macierze B
T
A i A
−1
BB
T
A. Odpowiedź
uzasadnić.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. [7p.] a) W oparciu o twierdzenie Kroneckera-Capelliego określić liczbę rozwiązań układu równań
x
1
+ x
2
− x
3
= 3
2x
1
− x
2
+ x
3
= 0
x
2
+ 3x
3
= −6
−3x
1
+ x
3
= −5
[2p.] b) Podać po jednym przykładzie macierzy wymiaru m × n, przy min(m, n) 4, z
których jedna jest rzędu drugiego, a druga rzędu trzeciego. Odpowiedź uzasadnić odpowiednimi
obliczeniami.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. [7p.] a) Wyznaczyć symetryczne odbicie początku przestrzennego układu współrzędnych wzglę-
dem płaszczyzny π o równaniu
π : 2x + y − z + 4 = 0
[2p.] b) Obliczyć objętość czworościanu o wierzchołkach A(1, 2, 0), B(2, 1, −1), C(−1, 0, −1) i
D(2, 1, 1).
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. [4p.] a) Wyznaczyć
4
q
−8 + 8
√
3i
Wynik zinterpretować na płaszczyźnie zespolonej.
[5p.] b) Znaleźć funkcję holomorficzną, gdy dana jest jej część urojona v(x, y) = 2 ln(x
2
+ y
2
).
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. [7p.] a) Znaleźć oryginał, gdy dana jest transformata Laplace’a
F (s) =
3s
2
− 2s + 9
s
3
− s
2
+ 4s − 4
wiedząc, że s = 1 jest jednym z pierwiastków wielomianu w mianowniku.
[2p.] b) Wyprowadzić wzór na transformatę Laplace’a funkcji f (t) = cos t.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6. *) [dla chętnych] [4p.] Narysować na płaszczyźnie zespolonej zbiór
z ∈ C : |2iz + 4| < 6 ∧ Arg z ¬
4π
3