Kolokwium zaliczeniowe z przedmiotu „Algebra liniowa”

WETI, kierunki AiR i IBM, 1 sem., r. ak. 2011/2012

1. [7p.] a) Wiadomo, że

A · B

−1

=






1 2 −1
2 3

0

3 5

7






.

Znaleźć taką macierz X, aby spełniała ona równanie B

−1

· X · A = I.

[2p.] b) Dana jest macierz A wymiaru 2 × 3 i macierz nieosobliwa B stopnia 3.
Które z iloczynów: ABA, B

−1

A

T

A, B

2

A, AA

T

B

−1

istnieją? Odpowiedź uzasadnić.

2. [7p.] Rozwiązać nierówność














1

1

1

1 1

1

2

1

x 2

3

3 x −1 0

x x x

x

2

0

1

1

1

2 1














< 0

3. [7p.] a) W zależności od parametru λ podać liczbę rozwiązań układu równań











λx + y + z = 1

x + y − z = λ

x − y + λz = 1

[2p.] b) Wyznaczyć rozwiązanie jednorodnego układu Cramera n równań z n niewiadomymi,
gdzie n jest dowolnie ustaloną liczbą naturalną. Odpowiedź uzasadnić.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. [7p.] a) Dane są proste l

1

i l

2

o równaniach

l

1

:











x = −1 + 2t

1

y = 2 + t

1

z = −1 − 2t

1

, t

1

∈ R,

l

2

:











x = −3t

2

y = 5 + t

2

z = −4 + t

2

, t

2

∈ R

Znaleźć punkt przecięcia tych prostych i równanie płaszczyzny zawierającej obie proste.
[2p.] b) Sprawdzić, czy punkty A(1, 3, 0), B(2, 4, 5) i C(3, 5, 9) należą do jednej prostej.

5. [4p.] a) Niech z = (

√

3 + i)

9

(1 − i)

5

. Obliczyć |z| oraz Argz.

[3p.] b) Korzystając ze wzoru całkowego Cauchy’ego lub jego uogólnienia obliczyć całkę

I

C

sin



π

2

z



z

2

− 1

dz,

gdzie C jest okręgiem |z − 1| = 1 zorientowanym dodatnio.

6. [7p.] a) Znaleźć oryginał, gdy dana jest transformata Laplace’a F (s) =

3s

2

+ 9s + 14

s

3

+ 4s

2

+ 7s

.

[2p.] b) Wyprowadzić wzór na transformatę Laplace’a funkcji jednostkowej.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. *) [dla chętnych] [5p.] Znaleźć wartości własne i wektor własny odpowiadający największej z

wyznaczonych wartości własnych macierzy

A =






2 −1 −6
0

1

0

0

0

−1






.