kol zal pop sem2 AiR IBM 2011 2012

background image

Poprawkowe kolokwium zaliczeniowe z przedmiotu „Analiza matematyczna II”

WETI, kierunki AiR i IBM, 2 sem., r. ak. 2011/2012

1. [7p.] a) Obliczyć całkę

Z Z

V

Z

dxdydz

x

2

+ y

2

+ z

2

,

gdzie bryła V opisana jest nierównościami: 4 ¬ x

2

+ y

2

+ z

2

¬ 16 oraz x ¬ 0, y ¬ 0 i z ­ 0.

Wykonać odpowiedni rysunek.
[2p.] b) Wyprowadzić jakobian przekształcenia dla współrzędnych sferycznych.

2. [7p.] a) Sprawdzić, czy całka

Z

K

x

y

y

x

dx + ln xdy

nie zależy od drogi całkowania i obliczyć jej wartość, gdy K jest dowolnym łukiem gładkim od
punktu A(1, 1) do B(2, 1).

[2p.] b) Wyznaczyć dywergencję i rotację pola wektorowego ~

W =

x sin z

2

,

yz

x

, y ln 2z

.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. [7p.] a) Wyznaczyć całkę szczególną równania y

0

+ tgx y = cos

2

x sin x spełniającą warunek

początkowy y(π/4) =

2/2.

[2p.] b) Sprawdzić, czy równanie

sin 2x

y

+ x

!

dx+

y −

sin

2

x

2y

2

!

dy = 0 jest równaniem różnicz-

kowym zupełnym.

4. [7p.] Wyznaczyć całkę ogólną równania y

000

+ 2y

00

− y

0

2y = 2e

x

.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. [7p.] Zbadać zbieżność szeregów liczbowych i w punkcie b) określić jej rodzaj

a)

X

n=1

(n + 2)!(n − 1)!

(2n)!

π

n

b)

X

n=1

(1)

n

n

n

2

+ 4

[2p.] c) Pokazać rozbieżność szeregu

X

n=1

n − 1

n + 1

2n

.

6. [7p.] Wyznaczyć przedział zbieżności szeregu potęgowego

X

n=1

(x + 2)

n

n · 4

n

i zbadać jego zbieżność na końcach przedziału.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. *) [dla chętnych] [5p.] Funkcja f (x) = x(π − x) dla x ∈ (0, π) posiada rozwinięcie w szereg

trygonometryczny Fouriera postaci

f (x) =

X

n=1

4

πn

3

[1 (1)

n

] sin nx.

W oparciu o to rozwinięcie wyznaczyć sumę szeregu

X

n=1

(1)

n−1

(2n − 1)

3

.


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
kol zal algebra ETI AiR IBM 2011 12
kol zal algebra ETI AiR IBM 2011-12
kol zal sem2 ETI IBM 2011 2012
kol zal algebra ETI AiR IBM 2012 13
kol zal pop sem2 EiT 2012 2013
kol zal algebra ETI AiR IBM 2012-13
kol zal algebra ETI AiR IBM 2013 14
kol zal algebra ETI AiR IBM 2013-14
kol zal sem2 AiR IBM 2012 2013
kol zal sem2 AiR IBM 2013 2014
egz pop AM AiR IBM 2012 13
kol zal pop algebra ETI 2012 13

więcej podobnych podstron