Egzamin poprawkowy z przedmiotu „Analiza matematyczna”
WETI, kierunki AiR i IBM, 1 sem., r. ak. 2012/2013
1. [8p.] Obliczyć całki (w punkcie b) zbadać zbieżność)
a)
Z
arc cos 2xdx
b)
∞
Z
1
dx
(5 + x)
√
x
dx
[2p.] c) Wyprowadzić wzór rekurencyjny na całkę
Z
tg
n
x dx.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. [8p.] a) Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywymi o równaniach
y = x
2
,
y = 3x
2
i
y = 12
Wykonać odpowiedni rysunek.
[2p.] b) Korzystając z własności całek z funkcji nieparzystej lub parzystej uzasadnić równość
1/e
Z
−1/e
ln
1 + sin x
1 − sin x
dx = 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. [8p.] a) Sprawdzić, czy funkcja z = ln(e
x
+ e
y
) spełnia równanie
z
xx
z
yy
− (z
xy
)
2
= 0
[2p.] b) Stosując różniczkę zupełną funkcji dwóch zmiennych obliczyć przybliżoną wartość
wyrażenia
(0, 97)
1,05
+ (1, 05)
0,97
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. [8p.] a) Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji g(x, y) = 4x
3
− 2x
2
y + y
2
.
[2p.] b) Obliczyć lub pokazać, że nie istnieje granica funkcji h(x, y) =
sin(xy)
πx
w punkcie (0, 2).
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. [8p.] a) Za pomocą całki podwójnej obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami
z = 2 +
q
x
2
+ y
2
,
x
2
+ y
2
= 4x
i płaszczyzną z = 0. Wykonać rysunek opisanej bryły.
[2p.] b) Wyprowadzić wzory na współrzędne biegunowe.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6. *) [dla chętnych] [5p.] Obliczyć całkę
ZZ
V
Z
dxdydz
(x + y + z + 1)
3
gdzie obszar V ograniczony jest płaszczyzną x+y+z = 1 i płaszczyznami układu współrzędnych.
Wykonać rysunek obszaru V .