Egzamin z przedmiotu „Analiza matematyczna”
WETI, kierunki AiR i IBM, 1 sem., r. ak. 2012/2013
1. [8p.] Obliczyć całki (w punkcie b) zbadać zbieżność)
a)
Z
dx
(2 + cos x)(3 + cos x)
b)
0
Z
−∞
e
3
√
x
dx
[2p.] c) Wyprowadzić wzór rekurencyjny na całkę
Z
x
n
e
x
dx.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. [8p.] a) Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywymi o równaniach y = tg x, y = ctg x i osią
OX w zakresie od x = 0 do x =
π
2
.
[2p.] b) Korzystając z własności funkcji nieparzystej obliczyć wartość całki
2
Z
−2
3x
5
− 7x
3
+ 2x
x
2
+ 4
dx.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. [8p.] a) Wyznaczyć wartość pochodnej
∂
5
f
∂z
2
∂x∂y
2
dla f (x, y, z) = ln(x
2
+ 2y − z) w punkcie
P (1, 0, 0).
[2p.] b) Stosując różniczkę zupełną obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia 2, 97 · e
0,05
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. [8p.] a) Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji g(x, y) = x(x
2
+ y
2
− 1).
[2p.] b) Obliczyć lub pokazać, że nie istnieje granicę funkcji h(x, y) =
(x + y)
2
x
2
+ y
2
w punkcie (0, 0).
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. [8p.] a) Za pomocą całki podwójnej obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami
z = 6 −
q
x
2
+ y
2
,
x
2
+ y
2
= 4
i płaszczyznami z = 1, x = 0 i y = x znajdującej się w pierwszym oktancie układu współrzędnych.
[2p.] b) Wyprowadzić jakobian przekształcenia dla współrzędnych biegunowych.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6. *) [dla chętnych] [5p.] Obliczyć całkę
ZZ
V
Z
y cos(z + x) dxdydz,
gdzie obszar V ograniczony jest powierzchnią y =
√
x i płaszczyznami y = 0, z = 0 i x + z =
π
2
.