Egzamin z przedmiotu „Analiza matematyczna”

WETI, kierunek EiT, 1 sem., r. ak. 2012/2013

1. [8p.] Obliczyć całki (w punkcie b) zbadać zbieżność)

a)

Z

arc sin

2

√

xdx

b)

0

Z

−∞

(1 + e

x

)

2

1 + e

2x

dx

[2p.] c) Wyprowadzić wzór rekurencyjny na całkę

Z

ln

n

xdx.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. [8p.] a) Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywymi o równaniach y = arctg x, y = arcctg x

i osią Oy. Wykonać odpowiedni rysunek.

[2p.] b) Korzystając z własności funkcji nieparzystej obliczyć wartość całki

ln 3

Z

− ln 3

e

x

− 1

e

x

+ 1

dx.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. [8p.] a) Wyznaczyć wartość pochodnej

∂

5

f

∂x∂y

2

∂z

2

dla f (x, y, z) = e

xy+z

w punkcie P (1, 0, 1).

[2p.] b) Stosując różniczkę zupełną obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia

cos(0, 05)

1, 96

.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. [8p.] a) Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji g(x, y) = e

−(x

2

+y

2

+2x)

.

[2p.] b) Obliczyć lub pokazać, że nie istnieje granica funkcji h(x, y) =

2x

x + y

2

w punkcie (0, 0).

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. [8p.] a) Za pomocą całki podwójnej obliczyć objętość bryły znajdującej się w pierwszym

oktancie układu współrzędnych ograniczonej powierzchniami

z =

q

x

2

+ y

2

+ 2,

x

2

+ y

2

= 4

i płaszczyznami z = 1, y = 0 i y = x. Wykonać rysunek opisanej bryły.
[2p.] b) Wyprowadzić jakobian przekształcenia dla współrzędnych biegunowych uogólnionych.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6. *) [dla chętnych] [5p.] Obliczyć całkę

Z Z

V

Z

ln(x + y + z)

(x + 1)(x + y + 1)

dxdydz,

gdzie obszar V ograniczony jest płaszczyznami x + y + z = e, x = 0, y = 0 i z = 1. Wykonać
rysunek obszaru V .