Egzamin poprawkowy z przedmiotu „Analiza matematyczna”

WETI, kierunek EiT, 1 sem., r. ak. 2012/2013

1. [8p.] Obliczyć całki (w punkcie b) zbadać zbieżność)

a)

Z

dx

1 + ctg x

b)

0

Z

−1

e

1
x

x

3

dx

[2p.] c) Wyprowadzić wzór rekurencyjny na całkę

Z

tg

n

x dx.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. [8p.] a) Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywymi o równaniach

y = e

3x

,

y = e

−2x

i

y =

3

√

e

Wykonać odpowiedni rysunek.
[2p.] b) Korzystając z własności całek z funkcji nieparzystej lub parzystej uzasadnić równość

π

Z

−π

x sin x dx

1 + cos

2

x

= 2

π

Z

0

x sin x dx

1 + cos

2

x

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. [8p.] a) Sprawdzić, czy funkcja u = e

3x+4y

sin(5z) spełnia równanie

u

xx

+ u

yy

+ u

zz

= 0

[2p.] b) Stosując różniczkę zupełną funkcji dwóch zmiennych obliczyć przybliżoną wartość
wyrażenia

(0, 97)

1,05

+ (1, 05)

0,97

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. [8p.] a) Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji g(x, y) = x

4

+ y

3

+ 32x − 9y.

[2p.] b) Obliczyć lub pokazać, że nie istnieje granica funkcji h(x, y) =

x

y

sin

y

x

w punkcie (0, 0).

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. [8p.] a) Za pomocą całki podwójnej obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami

z = −3 −

q

x

2

+ y

2

,

x

2

+ y

2

= 2y

i płaszczyzną z = 0. Wykonać rysunek opisanej bryły.
[2p.] b) Wyprowadzić wzory na współrzędne biegunowe.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6. *) [dla chętnych] [5p.] Obliczyć całkę

Z Z

V

Z

y

2

zdxdydz

gdzie obszar V ograniczony jest płaszczyznami 3x + z = 3, 2x + y = 2 i płaszczyznami układu
współrzędnych. Wykonać rysunek obszaru V .