Poprawkowe kolokwium zaliczeniowe z przedmiotu „Algebra liniowa”
WETI, kierunki AiR, EiT i IBM, 1 sem., r. ak. 2012/2013 - termin dodatkowy
1. [8p.] a) Wyznaczyć macierz X spełniającą równanie
"
1 −1
−2
0
#
· X ·
"
2 −3
0
1
#
=
"
−4 4
−4 2
#
[2p.] b) Podać po jednym przykładzie macierzy osobliwej trójkątnej górnej i macierzy nieosobliwej
diagonalnej stopnia co najmniej trzeciego.
2. [8p.] a) Dla jakich wartości parametru p układ równań
p x + 2y + 2z = 10
x + p y + z = 4
x + y + z = 6
posiada dokładnie jedno rozwiązanie? Obliczyć niewiadomą x dla p = 0.
[2p.] b) Podać po jednym przykładzie macierzy wymiaru m × n, przy min(m, n) 3, z których
jedna jest rzędu pierwszego, a druga rzędu trzeciego. Odpowiedź uzasadnić odpowiednimi
obliczeniami.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. [8p.] a) Napisać równanie parametryczne i kanoniczne prostej l przechodzącej przez punkt
P (1, 2, 0) i równoległej do prostej
l
1
:
(
2x + 2y + z = 3
4x + 2y + z = −2
[2p.] b) Obliczyć objętość czworościanu o wierzchołkach w punktach A(0, 0, 0), B(1, 2, 3), C(3, 1, 2)
i D(2, 3, 1).
4. [5p.] a) Znaleźć postać algebraiczną liczby zespolonej
1 − i
√
3
1 + i
!
12
[5p.] b) Znaleźć funkcję holomorficzną, gdy dana jest jej część rzeczywista
u(x, y) = e
−y
cos x − 2x
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. [8p.] a) Znaleźć oryginał, gdy dana jest transformata Laplace’a
F (s) =
13s + 26
s
3
+ 4s
2
+ 13s
[2p.] b) Wyprowadzić wzór na transformatę Laplace’a funkcji f (t) = t.
6. *) [dla chętnych] [5p.] Obliczyć iloczyn skalarny wektorów ~a i ~b jeżeli ~a = ~
p − 4~
q, ~b = 2~
p + 3~
q,
natomiast ~
p i ~
q są wektorami jednostkowymi wzajemnie prostopadłymi.