Poprawkowe kolokwium zaliczeniowe z przedmiotu „Algebra liniowa”

WETI, kierunki AiR, EiT i IBM, 1 sem., r. ak. 2012/2013 - termin dodatkowy

1. [8p.] a) Wyznaczyć macierz X spełniającą równanie

"

1 −1

−2

0

#

· X ·

"

2 −3
0

1

#

=

"

−4 4
−4 2

#

[2p.] b) Podać po jednym przykładzie macierzy osobliwej trójkątnej górnej i macierzy nieosobliwej
diagonalnej stopnia co najmniej trzeciego.

2. [8p.] a) Dla jakich wartości parametru p układ równań











p x + 2y + 2z = 10
x + p y + z = 4
x + y + z = 6

posiada dokładnie jedno rozwiązanie? Obliczyć niewiadomą x dla p = 0.
[2p.] b) Podać po jednym przykładzie macierzy wymiaru m × n, przy min(m, n) ­ 3, z których
jedna jest rzędu pierwszego, a druga rzędu trzeciego. Odpowiedź uzasadnić odpowiednimi
obliczeniami.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. [8p.] a) Napisać równanie parametryczne i kanoniczne prostej l przechodzącej przez punkt

P (1, 2, 0) i równoległej do prostej

l

1

:

(

2x + 2y + z = 3
4x + 2y + z = −2

[2p.] b) Obliczyć objętość czworościanu o wierzchołkach w punktach A(0, 0, 0), B(1, 2, 3), C(3, 1, 2)
i D(2, 3, 1).

4. [5p.] a) Znaleźć postać algebraiczną liczby zespolonej

 

1 − i

√

3

1 + i

!

12

[5p.] b) Znaleźć funkcję holomorficzną, gdy dana jest jej część rzeczywista

u(x, y) = e

−y

cos x − 2x

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. [8p.] a) Znaleźć oryginał, gdy dana jest transformata Laplace’a

F (s) =

13s + 26

s

3

+ 4s

2

+ 13s

[2p.] b) Wyprowadzić wzór na transformatę Laplace’a funkcji f (t) = t.

6. *) [dla chętnych] [5p.] Obliczyć iloczyn skalarny wektorów ~a i ~b jeżeli ~a = ~

p − 4~

q, ~b = 2~

p + 3~

q,

natomiast ~

p i ~

q są wektorami jednostkowymi wzajemnie prostopadłymi.