Poprawkowe kolokwium zaliczeniowe z przedmiotu „Algebra liniowa”
WETI, kierunki AiR, EiT i IBM, 1 sem., r. ak. 2010/2011
1. [7 p. ] Wyznaczyć macierz odwrotną A− 1 (o ile istnieje) do macierzy
1 1 1
A = 1 1 2
1 2 3
2. [7 p. ] a) Obliczyć det( B · BT ) dla
"
#
0
− 1 2 1
BT =
− 1
1
0 2
[2 p. ] b) Podać i zilustrować na przykładach cztery własności wyznaczników.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. [7 p. ] a) W zależności od parametru λ podać liczbę rozwiązań układu równań
λx + y + 2 z = 1
x + λy + 2 z = 1
x + y + 2 λz = 1
[2 p. ] b) Podać po jednym przykładzie macierzy osobliwej trójkątnej górnej i macierzy nieosobliwej diagonalnej stopnia co najmniej trzeciego.
4. [7 p. ] Znaleźć równanie płaszczyzny π przechodzącej przez początek układu współrzędnych i prostopadłej do dwóch płaszczyzn π 1 : 2 x − y + 5 z − 3 = 0 i π 2 : x + 3 y − z − 7 = 0.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. [7 p. ] a) a) Korzystając ze wzoru całkowego Cauchy’ego lub jego uogólnienia obliczyć całkę Z
dz
,
z 2( z + 3 i)
C
gdzie C jest okręgiem |z + 3 i| = 1 zorientowanym dodatnio.
√
[2 p. ] b) Wyznaczyć 3 1 − i. Otrzymane pierwiastki zaznaczyć na płaszczyźnie zespolonej.
6. [7 p. ] a) Znaleźć oryginał, gdy dana jest transformata Laplace’a 13 s + 26
F ( s) = s 3 + 4 s 2 + 13 s
[2 p. ] b) Wyprowadzić wzór na transformatę Laplace’a oryginału f ( t) = et.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7. *) [ dla chętnych] [5 p. ] Dane są wektory ~a = [3 , − 2 , 1], ~b = [1 , 2 , 1], ~c = [ − 1 , 4 , 3]. Obliczyć
[( ~b ◦ ~c)(2 ~c × ~a)] ◦ [( ~a − ~b) × ( ~a + ~c)] .