Kolokwium zaliczeniowe z przedmiotu „Algebra liniowa”

WETI, kierunek EiT, 1 sem., r. ak. 2010/2011

1. [4p.] Wyznaczyć macierz X z równania (

1
2

B · X

−1

)

−1

= 2A − X, gdzie

A =

"

1 2
0 2

#

,

B

−1

=

"

1 1
1 0

#

2. [4p.] a) Stosując operacje elementarne na wierszach lub kolumnach obliczyć wartość wyznacznika

i sprawdzić, czy











4

2

1 1

1 −1 0 2
3

0

1 3

2

2

0 3











= 13

[2p.] b) Podać i zilustrować na przykładach cztery własności wyznaczników.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. [4p.] a) W zależności od parametru λ podać liczbę rozwiązań układu równań











x + y + z = 6

λx + 4y + z = 5

6x + (λ + 2)y + 2z = 13

[2p.] b) Podać po jednym przykładzie macierzy osobliwej i macierzy nieosobliwej stopnia co
najmniej trzeciego.

4. [4p.] Dana jest płaszczyzna π o równaniu x + 2y − 3z = 1 oraz punkt P (1, 2, 0).

Znaleźć:

a) symetryczne odbicie punktu P względem płaszczyzny π,
b) odległość punktu P od płaszczyzny π.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. [4p.] a) Znaleźć funkcję holomorficzną f (z), gdy dana jest jej część urojona

v(x, y) = x

3

− 3xy

2

+ x

[2p.] b) Rozwiązać w płaszczyźnie zespolonej równanie z

3

− 2i = 0. Wyniki przedstawić w

postaci algebraicznej.

6. [4p.] Znaleźć oryginał, gdy dana jest transformata Laplace’a

F (s) =

4s

2

+ 20s + 26

s

3

+ 6s

2

+ 13s

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. *) [dla chętnych] [3p.] Znaleźć długość wektora ~a = 5~

p − 4~

q jeżeli wiadomo, że |~

p| = 2, |~

q| = 5,

a kąt między wektorami ~

p i ~

q wynosi

6

(~

p, ~

q) =

2
3

π.