Kolokwium zaliczeniowe z przedmiotu „Algebra liniowa”

WETI, kierunki EiT, 1 sem., r. ak. 2011/2012

1. [7p.] a) Wiadomo, że

B

−1

· A

T

=






0

1 2

0

3 5

−1 1 1






.

Znaleźć taką macierz X, aby spełniała ona równanie A

T

· X · B

−1

= 2I.

[2p.] b) Dana jest macierz A wymiaru 3 × 2 i macierz nieosobliwa B stopnia 3.
Które z iloczynów: B

2

A

T

, AA

T

B

−1

, B

−1

AB

T

, (AA

T

)

2

istnieją? Odpowiedź uzasadnić.

2. [7p.] Rozwiązać nierówność














0 −1 −1 −1 2

x

x

x

0 1

1

2

x −1 1

1

2

0

1 1

2

1

1

1 0














< 3 − 6x

2

3. [7p.] a) W zależności od parametru λ podać liczbę rozwiązań układu równań











x + λy + z = 1
2x + y + z = λ

x + y + λz = λ

2

[2p.] b) Wyznaczyć rozwiązanie jednorodnego układu Cramera n równań z n niewiadomymi,
gdzie n jest dowolnie ustaloną liczbą naturalną. Odpowiedź uzasadnić.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. [7p.] a) Wykazać, że proste l

1

i l

2

l

1

:











x = 2 + 4t
y = −6t
z = −1 − 8t

, t ∈ R,

i

l

2

:

x − 7

−6

=

y − 2

9

=

z

12

są równoległe. Obliczyć odległość między nimi i wyznaczyć równanie płaszczyzny, w której one
leżą.
[2p.] b) Sprawdzić, czy punkty A(1, 3, 0), B(2, 4, 5), C(3, 5, 9) i D(0, 1, 2) należą do jednej
płaszczyzny.

5. [4p.] a) Niech z =

(i − 1)

6

(1 +

√

3i)

8

. Obliczyć |z| oraz Argz.

[3p.] b) Korzystając ze wzoru całkowego Cauchy’ego lub jego uogólnienia obliczyć całkę

I

C

dz

(z

2

+ 1)

2

,

gdzie C jest okręgiem |z + i| = 1 zorientowanym dodatnio.

6. [7p.] a) Znaleźć oryginał, gdy dana jest transformata Laplace’a F (s) =

−s

3

+ 5s

2

+ 6s + 15

s

4

+ 2s

3

+ 5s

2

.

[2p.] b) Wyprowadzić wzór na transformatę Laplace’a funkcji potęgowej f (t) = t

n

.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. *) [dla chętnych] [5p.] Znaleźć wartości własne i wektor własny odpowiadający najmniejszej

dodatniej z wyznaczonych wartości własnych macierzy

A =






1

0

0

2

2

0

−1 −1 −1






.