Egzamin połówkowy z przedmiotów

„Matematyka elementarna” i „Analiza matematyczna I”

WETI, kierunek EiT, 1 sem., r. ak. 2011/2012

1. [7p.] a) Sprawdzić, dla jakich argumentów x istnieje funkcja odwrotna do

f (x) = 5 ctg(π − 3x) − 1

Następnie wyznaczyć f

−1

oraz jej dziedzinę i przeciwdziedzinę.

[2p.] b) Uzasadnić, że złożenie funkcji rosnącej i funkcji malejącej jest funkcją malejącą.

2. [7p.] a) Obliczyć granicę ciągu lim

n→∞

arcctg a

n

πb

n

, gdzie

a

n

=

2

√

n+1

2

√

n

,

b

n

=

n

2

3

h

ln(n

2

+ 2) − ln(n

2

− 1)

i

[2p.] b) Przedstawić ciąg o wyrazie ogólnym a

n

=

(n + 1)!

π

2n

w postaci rekurencyjnej.

3. [7p.] Wyznaczyć wartości parametrów k, m ∈ R tak, aby funkcja h(x)

h(x) =



































k

4 − x

2

√

x + 6 − 2

+ π

4

dla

−6 ¬ x < −2

x(x + 1)

2

+ arctg m

dla

−2 ¬ x ¬ 0

1

4

arcctg (π + ln x)

dla

x > 0

była ciągła dla dowolnej liczby rzeczywistej.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. [7p.] a) Wyznaczyć normalną do wykresu funkcji f (x) = x

ln x

w punkcie o rzędnej x

0

, będącej

rozwiązaniem równania log

1
2

(log

2

(ln x)) = −1.

[2p.] b) Wykorzystując różniczkę zupełną funkcji obliczyć przybliżoną wartość e

−0,0007

.

5. [7p.] Znaleźć asymptoty wykresu funkcji g(x) =



x +

1

x + 1



arcctg x.

6. [7p.] a) Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji h(x) =

2 + ln x

x

2

oraz przedziały, w których jednocześnie

funkcja jest rosnąca i posiada wykres wypukły w dół.

[2p.] b) Korzystając z definicji wyprowadzić wzór na pochodną funkcji y =

1

sin 3x

.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. *) [dla chętnych] [5p.] Korzystając ze wzoru Taylora przedstawić wielomian

w(x) = 5x

5

+ 4x

4

+ 3x

3

+ 2x

2

+ x

w postaci sumy potęg dwumianu x − 1.