Egzamin połówkowy z przedmiotu „Analiza matematyczna i algebra liniowa”

WETI, kierunek EiT (gr. 1-7), 1 sem., r. ak. 2008/2009

1. [4p.] Dla jakich wartości parametrów m, k ∈ R funkcja f (x) jest ciągła w punkcie x

0

= 0?

Sprawdzić ciągłość funkcji dla pozostałych x ∈ R \ {0}. Jeśli istnieją punkty nieciągłości,
określić ich rodzaj.

f (x) =















































arctg



√

2 − e

x

4−x2



dla

x < −2

π

2

(x + 2)

dla

−2 ¬ x < 0

|π sin(k)|

dla

x = 0

1

m

2

·

2

1
x

− 1

2

1
x

+ 1

dla

x > 0

2. [4p.] a) Wyznaczyć pochodną funkcji

f (x) =

a

s

2 ln



sin

x

b



gdzie a jest rozwiązaniem równania 2

2x

+ 2

x

= 20, natomiast b = lim

n→∞

n! − 2

n! + 3

!

n!

2

.

[2p.] b) Korzystając z twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej wyprowadzić wzór na po-
chodną y = log x.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. [4p.] a) Wyznaczyć równanie normalnej do wykresu funkcji g(x) =

1 + ln x

ex

w punkcie będącym

jej punktem przegięcia.
[2p.] b) Korzystając z różniczki zupełnej obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia ln

2009
2008

.

4. [4p.] Obliczyć całki

a)

Z

cos(ln x)dx

b)

Z

ln x

3

√

x

!

2

dx

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. [4p.] a) Obliczyć całkę

Z

3

√

2 − 3x dx

√

2 − 3x − 8

[2p.] b) Wyprowadzić wzór na

Z

f

0

(x)

f

2

(x)

dx.

6. [4p.] Obliczyć całki

a)

Z

dx

sin

2

x cos

4

x

b)

Z

(1 + e

x

)

2

1 + e

2x

dx

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. *) [dla chętnych] [3p.] Obliczyć pochodną funkcji

y = (sin x)

(x)

log x