Egzamin poprawkowy z przedmiotu „Analiza matematyczna i algebra liniowa”
WETI, kierunek AiR i EiT , 1 sem., r. ak. 2007/2008
1. [7p.] Zbadać ciągłość funkcji. Jeżeli istnieją punkty nieciągłości, określić ich rodzaj.
f (x) =
1
π
x−2
1−x
dla
x < 1
π|x − 1|
dla
1 ¬ x ¬ 2
arcctg (log
1
2
(x − 2))
dla
x > 2
2. [7p.] a) Wyznaczyć asymptoty funkcji f (x) = x ln
1 +
1
x
.
[2p.] b) Podać po jednym przykładzie ciągu zbieżnego do granicy właściwej na podstawie twier-
dzenia o trzech ciągach i na podstawie twierdzenia o iloczynie ciągu ograniczonego i zbieżnego
do zera. Podać wartości tych granic.
3. [7p.] Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji y =
3
√
x
2
e
−x
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. [7p.] Obliczyć całki (w punkcie b) zbadać zbieżność)
a)
Z
ln x dx
(1 + x
2
)
3/2
b)
1
Z
0
arcctgx dx
x
2
[2p.] c) Opisać dwa przykłady zastosowań geometrycznych całek oznaczonych.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. [7p.] a) Wyznaczyć macierz Y z równania
1
2
Y
−1
A
−1
= Y + B
gdzie
A
−1
=
1
0 2
−1 1 0
0
0 2
,
B =
1
0
2
[2p.] b) Podać po jednym przykładzie macierzy kwadratowej i dowolnego wymiaru m × n dla
m 6= n, których rząd wynosi trzy.
6. [7p.] a) Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji f (x, y) = x
3
+ 8y
3
− 6xy + 5.
[2p.] b) Za pomocą różniczki zupełnej obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia
q
(5, 98)
2
+ (8, 01)
2
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7. *) [5p.] [dla chętnych] Przedstawić podaną prostą w postaci parametrycznej i kanonicznej
3x − 2y + 5z − 1 = 0
2x − y + 2z − 2 = 0