Egzamin poprawkowy z przedmiotu „Analiza matematyczna i algebra liniowa”

WETI, kierunek AiR i EiT , 1 sem., r. ak. 2007/2008

1. [7p.] Zbadać ciągłość funkcji. Jeżeli istnieją punkty nieciągłości, określić ich rodzaj.

f (x) =





























1

π



x−2
1−x

dla

x < 1

π|x − 1|

dla

1 ¬ x ¬ 2

arcctg (log

1
2

(x − 2))

dla

x > 2

2. [7p.] a) Wyznaczyć asymptoty funkcji f (x) = x ln



1 +

1

x



.

[2p.] b) Podać po jednym przykładzie ciągu zbieżnego do granicy właściwej na podstawie twier-
dzenia o trzech ciągach i na podstawie twierdzenia o iloczynie ciągu ograniczonego i zbieżnego
do zera. Podać wartości tych granic.

3. [7p.] Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji y =

3

√

x

2

e

−x

.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. [7p.] Obliczyć całki (w punkcie b) zbadać zbieżność)

a)

Z

ln x dx

(1 + x

2

)

3/2

b)

1

Z

0

arcctgx dx

x

2

[2p.] c) Opisać dwa przykłady zastosowań geometrycznych całek oznaczonych.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. [7p.] a) Wyznaczyć macierz Y z równania



1

2

Y

−1

A



−1

= Y + B

gdzie

A

−1

=






1

0 2

−1 1 0

0

0 2






,

B =






1
0
2






[2p.] b) Podać po jednym przykładzie macierzy kwadratowej i dowolnego wymiaru m × n dla
m 6= n, których rząd wynosi trzy.

6. [7p.] a) Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji f (x, y) = x

3

+ 8y

3

− 6xy + 5.

[2p.] b) Za pomocą różniczki zupełnej obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia

q

(5, 98)

2

+ (8, 01)

2

.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. *) [5p.] [dla chętnych] Przedstawić podaną prostą w postaci parametrycznej i kanonicznej







3x − 2y + 5z − 1 = 0

2x − y + 2z − 2 = 0