Egzamin końcowy z przedmiotu „Analiza matematyczna i algebra liniowa”
WETI, kierunek AiR, 1 sem., r. ak. 2008/2009
1. [4p.] Obliczyć objętość bryły powstałej przez obrót dookoła osi OX krzywej y =
√
2xe
−x/2
dla
x ∈ h0, +∞) .
2. [4p.] a) Wyznaczyć punkt symetryczny do punktu A(2, 3, 1) względem płaszczyzny o równaniu
x − y + z − 2 = 0.
[2p.] b)Podać przykłady macierzy A i B wymiaru 4×3 takich, że R(A) = 2 i R(B) = 3 (obliczyć
rzędy tych macierzy).
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. [4p.] W zależności od parametru a podać liczbę rozwiązań układu równań
x + y + z = 6
ax + 4y + z = 5
6x + (a + 2)y + 2z = 13
4. [4p.] a) Wyznaczyć wartość najmniejszą i największą funkcji g(x, y) = 4x
3
− 2x
2
y + y
2
w ob-
szarze ograniczonym krzywą y = x
2
i prostą y = 16.
[2p.] b) Korzystając z różniczki zupełnej obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia
q
(5, 98)
2
+ (8, 01)
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. [4p.] Obliczyć całkę podwójną
Z
D
Z
1
y
2
e
x/
√
y
dxdy
gdzie obszar D ograniczony jest wykresami funkcji y = x
2
, y = 4 i x = 1, dla x 1.
6. [4p.] a) Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami
z = x
2
+ y
2
, x
2
+ y
2
= x, x
2
+ y
2
= 2x i z = 0
dla
x ¬ x
2
+ y
2
¬ 2x
Wykonać odpowiedni rysunek.
[2p.] b) Wyprowadzić jakobian przekształcenia dla współrzędnych sferycznych uogólnionych
dowolnego typu.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7. *) [dla chętnych] [3p.] Sprawdzić, czy funkcja z = cos
2
(y −
x
2
) spełnia równanie różniczkowe
z
xx
+ z
xy
= 0
8. *) [dla bardzo chętnych] [7p.] Obliczyć całkę
Z
D
Z
1
3
√
x+1
+ x
ye
y
dxdy
2[3
3
q
(
π
2
+ 1)
2
+
π
2
4
− 3
3
q
(arc sin y + 1)
2
− (arc sin y)
2
]
gdzie obszar D jest ograniczony krzywą y = sin x i prostymi y = 0, x = 0, x =
π
2
.