Egzamin końcowy z przedmiotu „Analiza matematyczna i algebra liniowa”

WETI, kierunek IBM, 1 sem., r. ak. 2009/2010

1. [4p.] Obliczyć objętość bryły otrzymanej przez obrót dookoła osi OX obszaru ograniczonego

krzywą o równaniu

f

(x) =







1 − x

2

dla x ¬ 0

2

−

x

dla x > 0

dla x ∈ h−1, +∞) oraz prostą y = 0. Wykonać rysunek otrzymanej bryły.

2. [4p.] a) W zależności od parametru k ∈ R podać warunki rozwiązalności i rozwiązać układ

równań











−x + y + z = 0

kx

+ (k + 2)y = 0

kx

+ y = 0

[2p.] b) Podać po jednym przykładzie macierzy trójkątnej dolnej i macierzy skalarnej stopnia
n

­ 4 oraz obliczyć wartości wyznaczników tych macierzy.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. [4p.] a) Znaleźć rzut punktu A(1, −2, 0) na płaszczyznę o równaniu x − 3y + 2z − 5 = 0.

[2p.] b) Podać (wraz z uzasadnieniem) po jednym przykładzie wektorów równoległych i prostopad-
łych w R

3

.

4. [4p.] Wyznaczyć funkcję holomorficzną f (z), jeśli dana jest jej część urojona v(x, y) = y

3

−3yx

2

.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. [4p.] a) Sprawdzić, czy funkcja g(x, y) = x

3

+ 8y

3

− 6xy + 5 ma ekstremum lokalne w punkcie

P

0

(1,

1

2

). Jeśli tak, określić czy jest to minimum czy maksimum.

[2p.] b) Wyznaczyć gradient dowolnie wybranej funkcji trzech zmiennych, nie będącej funkcją
stałą.

6. [4p.] Obliczyć

Z

D

Z

ydxdy

gdzie obszar D opisany jest nierównościami: x

2

+ y

2

¬ 2y i x ¬ 0 . Wykonać odpowiedni

rysunek.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. *) [dla chętnych] [3p.] Wyznaczyć, przedstawić w postaci algebraicznej i zinterpretować na

płaszczyźnie zespolonej

3

√

−i.