Egzamin końcowy z przedmiotu „Analiza matematyczna i algebra liniowa”
WETI, kierunek IBM, 1 sem., r. ak. 2009/2010
1. [4p.] Obliczyć objętość bryły otrzymanej przez obrót dookoła osi OX obszaru ograniczonego
krzywą o równaniu
f
(x) =
1 − x
2
dla x ¬ 0
2
−
x
dla x > 0
dla x ∈ h−1, +∞) oraz prostą y = 0. Wykonać rysunek otrzymanej bryły.
2. [4p.] a) W zależności od parametru k ∈ R podać warunki rozwiązalności i rozwiązać układ
równań
−x + y + z = 0
kx
+ (k + 2)y = 0
kx
+ y = 0
[2p.] b) Podać po jednym przykładzie macierzy trójkątnej dolnej i macierzy skalarnej stopnia
n
4 oraz obliczyć wartości wyznaczników tych macierzy.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. [4p.] a) Znaleźć rzut punktu A(1, −2, 0) na płaszczyznę o równaniu x − 3y + 2z − 5 = 0.
[2p.] b) Podać (wraz z uzasadnieniem) po jednym przykładzie wektorów równoległych i prostopad-
łych w R
3
.
4. [4p.] Wyznaczyć funkcję holomorficzną f (z), jeśli dana jest jej część urojona v(x, y) = y
3
−3yx
2
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. [4p.] a) Sprawdzić, czy funkcja g(x, y) = x
3
+ 8y
3
− 6xy + 5 ma ekstremum lokalne w punkcie
P
0
(1,
1
2
). Jeśli tak, określić czy jest to minimum czy maksimum.
[2p.] b) Wyznaczyć gradient dowolnie wybranej funkcji trzech zmiennych, nie będącej funkcją
stałą.
6. [4p.] Obliczyć
Z
D
Z
ydxdy
gdzie obszar D opisany jest nierównościami: x
2
+ y
2
¬ 2y i x ¬ 0 . Wykonać odpowiedni
rysunek.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7. *) [dla chętnych] [3p.] Wyznaczyć, przedstawić w postaci algebraicznej i zinterpretować na
płaszczyźnie zespolonej
3
√
−i.