Egzamin końcowy z przedmiotu „Analiza matematyczna I”
WETI, kierunki AiR i IBM, 1 sem., r. ak. 2011/2012
1. [7p.] Obliczyć całki nieoznaczone (w punkcie b) zbadać zbieżność)
a)
Z
x arc cos
1
x
dx
b)
+∞
Z
0
e
x
+ 3
e
2x
+ 2e
x
+ 2
dx
2. [7p.] a) Obliczyć długość łuku krzywej y = ln(2 cos x) między dwoma sąsiednimi punktami
przecięcia wykresu tej funkcji z osią OX.
[2p.] b) Korzystając z twierdzenia o całkowaniu przez podstawienie dla całek nieoznaczonych
wyprowadzić wzór na całkę
Z
f
0
(x)
f (x)
dx.
3. [7p.] Sprawdzić, czy funkcja z = e
−x
(x − y)
2
spełnia równanie
z
xx
− z
yy
− 2z
y
− z = 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. [7p.] a) Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji g(x, y) =
y
x
+
1
x
+ y.
[2p.] b) Stosując różniczkę zupełną obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia
ln
4
q
0, 98 +
3
q
1, 03 − 1
5. [7p.] a) Obliczyć całkę
9
Z
0
dy
3
Z
√
y
sin(πx
3
)dx
[2p.] b) Zdefiniować obszar normalny względem osi OY. Podać przykład takiego obszaru.
6. [7p.] a) Za pomocą całki podwójnej obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami
z = 4 −
q
x
2
+ y
2
i
z =
q
x
2
+ y
2
Wykonać odpowiedni rysunek.
[2p.] b) Wyprowadzić współrzędne biegunowe.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7. *) [dla chętnych] [5p.] Wyprowadzić wzór na pole powierzchni sfery o promieniu R.