Egzamin połówkowy z przedmiotów

„Matematyka elementarna” i „Analiza matematyczna I”

WETI, kierunki AiR i IBM, 1 sem., r. ak. 2011/2012

1. [7p.] a) Sprawdzić, dla jakich argumentów x istnieje funkcja odwrotna do

f (x) = 3 sin (2x − π) + 1

Następnie wyznaczyć f

−1

oraz jej dziedzinę i przeciwdziedzinę.

[2p.] b) Uzasadnić, że złożenie dwóch funkcji malejących jest funkcją rosnącą.

2. [7p.] a) Obliczyć granicę ciągu lim

n→∞

ln a

n

sin

πb

n

2

, gdzie

a

n

=



2n − 1

2n + 3



5n−1

,

b

n

=

n

√

1 + 5

−n

+ 5

n

+ 5

2n

[2p.] b) Przedstawić ciąg o wyrazie ogólnym a

n

=

e

n

n!

w postaci rekurencyjnej.

3. [7p.] Wyznaczyć wartości parametrów k, m ∈ R tak, aby funkcja h(x)

h(x) =































arctg



sin |x|

√

3x



dla

x < 0

π

2

(1 −

√

k

2

− 1)

dla

x = 0

1

π e

x−1

x2

− m

dla

x > 0

była ciągła dla dowolnej liczby rzeczywistej.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. [7p.] a) Wyznaczyć styczną do wykresu funkcji f (x) = x

cos(πx)

w punkcie o rzędnej x

0

=

2x

w

5

,

gdzie x

w

jest pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli y = −x

2

+ 5x − 6.

[2p.] b) Wykorzystując różniczkę zupełną funkcji obliczyć przybliżoną wartość

1

4

√

80, 7

.

5. [7p.] Znaleźć asymptoty wykresu funkcji g(x) =

2

x

3

− arcctg x.

6. [7p.] a) Wyznaczyć punkty przegięcia wykresu funkcji h(x) = x

2

+ ln 2x oraz przedziały, w

których jednocześnie funkcja jest rosnąca i posiada wykres wypukły w górę.
[2p.] b) Korzystając z definicji wyprowadzić wzór na pochodną funkcji y = cos 3x.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. *) [dla chętnych] [5p.] Korzystając ze wzoru Taylora przedstawić wielomian

w(x) = x

5

+ x

3

− 1

w postaci sumy potęg dwumianu x + 1.