Egzamin połówkowy z przedmiotu „Analiza matematyczna i algebra liniowa”
WETI, kierunek IBM, 1 sem., r. ak. 2009/2010
1. [4p.] Wyznaczyć wartości parametrów m, k ∈ R tak, aby funkcja f (x) była ciągła dla dowolnego
x ∈ R
f (x) =
e
−x
1−x
− m
2
x
dla
x < 1
|x − 1| − 4
dla
1 ¬ x ¬ 2
k − π · arcctg (ln |2 − x|)
dla
x > 2
Dla obliczonej dodatniej wartości parametru m wyznaczyć dziedzinę i przeciwdziedzinę funkcji
g(x) = m · arc sin (1 − 3x) + π
2. [4p.] Napisać równanie stycznej do wykresu funkcji h(x) = (
√
ax)
cos x
w punkcie o współrzędnej
x
0
=
π
b
, gdzie a = lim
n→∞
ln
n + 2
n − 3
5n
, natomiast b jest równe długości wektora ~
u = [2, 0].
[2p.] b) Zbadać monotoniczność ciągu o wyrazie ogólnym a
n
=
3
n
n!
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. [4p.] a) Wyznaczyć ekstrema oraz przedziały, w których funkcja y = xe
−x
jest jednocześnie
rosnąca i wypukła w dół.
[2p.] b) Korzystając z definicji pochodnej wyprowadzić wzór na pochodną funkcji y = cos 2x.
4. [4p.] Obliczyć całki
a)
Z
e
3
√
x
dx
b)
Z
√
x ln x
2
dx
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. [4p.] a) Obliczyć całkę
Z
cos xdx
5 − 3 cos x
[2p.] b) W oparciu o twierdzenie o całkowaniu przez podstawienie wyprowadzić wzór na całkę
Z
f
0
(x)dx
q
f (x)
6. [4p.] Obliczyć całkę
Z
(arc cos x)
α
dx,
gdzie α jest równe promieniowi okręgu o równaniu x
2
+ y
2
+ 2x − 4y − 4 = 0.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7. *) [dla chętnych] [3p.] Korzystając z rozwinięcia Taylora przedstawić wielomian
W (x) = x
4
− 5x
3
+ x
2
− 3x + 4
w postaci sumy potęg dwumianu x − 4.