Egzamin końcowy z przedmiotu „Analiza matematyczna I”

WETI, kierunek IBM, 1 sem., r. ak. 2010/2011

1. [4p.] Obliczyć całki nieoznaczone

a)

Z

dx

2(1 + sin x) − cos x

b)

Z

sin x ln(tg x)dx

2. [4p.] a) Obliczyć objętość bryły otrzymanej przez obrót dookoła osi OX obszaru ograniczonego

krzywą o równaniu

f (x) =











0,

x < −1

1 − x

2

, −1 ¬ x ¬ 0

π

−x

,

x > 0

oraz prostą y = 0. Wykonać rysunek otrzymanej bryły.
[2p.] b) Opisać (podać wzór i ilustrację graficzną) dwóch wybranych zastosowań geometrycznych
całek oznaczonych nie wymienionych w punkcie a) tego zadania.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. [4p.] Sprawdzić, czy funkcja z = x cos

y

x

spełnia równanie

x

2

z

xx

+ 2xyz

xy

+ y

2

z

yy

= 0

4. [4p.] a) Wyznaczyć wartość najmniejszą i największą funkcji g(x, y) = 3 − x

2

− 2y

2

w obszarze

określonym nierównościami x ­ 0, y ­ 0 i x + y ¬ 1.

[2p.] b) Pokazać, że nie istnieje granica funkcji h(x, y) =

xy

x

2

+ y

2

w punkcie (0, 0).

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. [4p.] Obliczyć całkę

Z

D

Z

x

2

y

2

dxdy

gdzie D jest obszarem ograniczonym krzywą xy = 1 i prostymi y = x, x = 2. Wykonać
odpowiedni rysunek.

6. [4p.] a) Za pomocą całki podwójnej obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami

9z = x

2

+ y

2

i

z =

q

36 − x

2

− y

2

znajdującej się wewnątrz tych powierzchni.
[2p.] b) Wyprowadzić jakobian przekształcenia dla współrzędnych biegunowych uogólnionych.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. *) [dla chętnych] [3p.] Narysować obszar całkowania oraz zmienić kolejność całkowania w całce

iterowanej

2

Z

0

dx

2−

√

4−(x−2)

2

Z

−x

2

f (x, y) dy