Kolokwium zaliczeniowe z przedmiotu „Algebra liniowa”

WETI, kierunek IBM, 1 sem., r. ak. 2010/2011

1. [4p.] Wyznaczyć macierz X z równania (3X

T

· B)

T

= A − 2X, gdzie

A =

"

1 2
0 2

#

,

B

T

=

"

1 1
1 0

#

2. [4p.] a) Stosując operacje elementarne na wierszach lub kolumnach obliczyć wartość wyznacznika

i sprawdzić, czy











1

0

1 −1

2

1 −1

2

−1

2

1

3

3 −1

4

0











= −44

[2p.] b) Podać i zilustrować na przykładach cztery własności wyznaczników.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. [4p.] a) W zależności od parametru λ podać liczbę rozwiązań układu równań











λ

2

x + 4y + z = 0

λx + 2y + z = 0

x + y + z = 0

W przypadku nieskończenie wielu rozwiązań podać liczbę parametrów, od których zależą te
rozwiązania.
[2p.] b) Podać po jednym przykładzie macierzy wymiaru m × n, przy min(m, n) ­ 3, z których
jedna jest rzędu drugiego a druga rzędu trzeciego.

4. [4p.] Dana jest prosta l o równaniu 2(x − 1) = 3(y + 2) = 6z oraz punkt P (1, 2, 0).

Znaleźć:

a) symetryczne odbicie punktu P względem prostej l,
b) odległość punktu P od prostej l.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. [4p.] a) Znaleźć funkcję holomorficzną f (z), gdy dana jest jej część rzeczywista

u(x, y) = e

x

cos y + y

[2p.] b) Rozwiązać w płaszczyźnie zespolonej równanie z

3

+ 8i = 0. Wyniki przedstawić w

postaci algebraicznej.

6. [4p.] Znaleźć oryginał, gdy dana jest transformata Laplace’a

F (s) =

s

2

+ 7s + 10

s

3

+ 2s

2

+ 5s

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. *) [dla chętnych] [3p.] Obliczyć iloczyn skalarny wektorów ~a i ~b jeżeli ~a = 3~

p − 2~

q, ~b = ~

p − 5~

q,

natomiast ~

p i ~

q są wektorami jednostkowymi wzajemnie prostopadłymi.