Kolokwium zaliczeniowe z przedmiotu „Algebra liniowa”
WETI, kierunek IBM, 1 sem., r. ak. 2010/2011
1. [4p.] Wyznaczyć macierz X z równania (3X
T
· B)
T
= A − 2X, gdzie
A =
"
1 2
0 2
#
,
B
T
=
"
1 1
1 0
#
2. [4p.] a) Stosując operacje elementarne na wierszach lub kolumnach obliczyć wartość wyznacznika
i sprawdzić, czy
1
0
1 −1
2
1 −1
2
−1
2
1
3
3 −1
4
0
= −44
[2p.] b) Podać i zilustrować na przykładach cztery własności wyznaczników.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. [4p.] a) W zależności od parametru λ podać liczbę rozwiązań układu równań
λ
2
x + 4y + z = 0
λx + 2y + z = 0
x + y + z = 0
W przypadku nieskończenie wielu rozwiązań podać liczbę parametrów, od których zależą te
rozwiązania.
[2p.] b) Podać po jednym przykładzie macierzy wymiaru m × n, przy min(m, n) 3, z których
jedna jest rzędu drugiego a druga rzędu trzeciego.
4. [4p.] Dana jest prosta l o równaniu 2(x − 1) = 3(y + 2) = 6z oraz punkt P (1, 2, 0).
Znaleźć:
a) symetryczne odbicie punktu P względem prostej l,
b) odległość punktu P od prostej l.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. [4p.] a) Znaleźć funkcję holomorficzną f (z), gdy dana jest jej część rzeczywista
u(x, y) = e
x
cos y + y
[2p.] b) Rozwiązać w płaszczyźnie zespolonej równanie z
3
+ 8i = 0. Wyniki przedstawić w
postaci algebraicznej.
6. [4p.] Znaleźć oryginał, gdy dana jest transformata Laplace’a
F (s) =
s
2
+ 7s + 10
s
3
+ 2s
2
+ 5s
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7. *) [dla chętnych] [3p.] Obliczyć iloczyn skalarny wektorów ~a i ~b jeżeli ~a = 3~
p − 2~
q, ~b = ~
p − 5~
q,
natomiast ~
p i ~
q są wektorami jednostkowymi wzajemnie prostopadłymi.