Poprawkowe kolokwium zaliczeniowe z przedmiotu „Algebra liniowa”

WETI, kierunki AiR, EiT i IBM, 1 sem., r. ak. 2010/2011

1. [7p.] Wyznaczyć macierz odwrotną A

−1

(o ile istnieje) do macierzy

A =






1 1 1
1 1 2
1 2 3






2. [7p.] a) Obliczyć det(B · B

T

) dla

B

T

=

"

0

−1 2 1

−1

1

0 2

#

[2p.] b) Podać i zilustrować na przykładach cztery własności wyznaczników.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. [7p.] a) W zależności od parametru λ podać liczbę rozwiązań układu równań











λx + y + 2z = 1
x + λy + 2z = 1
x + y + 2λz = 1

[2p.] b) Podać po jednym przykładzie macierzy osobliwej trójkątnej górnej i macierzy nieosobliwej
diagonalnej stopnia co najmniej trzeciego.

4. [7p.] Znaleźć równanie płaszczyzny π przechodzącej przez początek układu współrzędnych i

prostopadłej do dwóch płaszczyzn π

1

: 2x − y + 5z − 3 = 0 i π

2

: x + 3y − z − 7 = 0.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. [7p.] a) a) Korzystając ze wzoru całkowego Cauchy’ego lub jego uogólnienia obliczyć całkę

Z

C

dz

z

2

(z + 3i)

,

gdzie C jest okręgiem |z + 3i| = 1 zorientowanym dodatnio.
[2p.] b) Wyznaczyć

3

√

1 − i. Otrzymane pierwiastki zaznaczyć na płaszczyźnie zespolonej.

6. [7p.] a) Znaleźć oryginał, gdy dana jest transformata Laplace’a

F (s) =

13s + 26

s

3

+ 4s

2

+ 13s

[2p.] b) Wyprowadzić wzór na transformatę Laplace’a oryginału f (t) = e

t

.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. *) [dla chętnych] [5p.] Dane są wektory ~a = [3, −2, 1], ~b = [1, 2, 1], ~c = [−1, 4, 3]. Obliczyć

[(~b ◦ ~c)(2~c × ~a)] ◦ [(~a − ~b) × (~a + ~c)].