Kolokwium zaliczeniowe z przedmiotu „Algebra liniowa”

WETI, kierunek AiR, 1 sem., r. ak. 2010/2011

1. [4p.] Wyznaczyć macierz X z równania (3X

T

· B)

T

= A − 2X, gdzie

A =

"

1 2
0 2

#

,

B

T

=

"

1 1
1 0

#

2. [4p.] a) Stosując operacje elementarne na wierszach lub kolumnach obliczyć wartość wyznacznika

i sprawdzić, czy











−1

1 −1

2

1 −2

2 −3

2

1

3 −1

−1

2

1

1











= 8

[2p.] b) Podać i zilustrować na przykładach cztery własności wyznaczników.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. [4p.] a) W zależności od parametru λ podać liczbę rozwiązań układu równań











x − y + z − t = 0

x + 3y − z + t = 1

x − 5y + 3z − t = λ

Wyznaczyć te rozwiązania.
[2p.] b) Podać po jednym przykładzie macierzy wymiaru m × n, przy min(m, n) ­ 4, z których
jedna jest rzędu drugiego a druga rzędu trzeciego.

4. [4p.] Dana jest prosta l o równaniu 2(x − 1) = 3(y + 2) = 6z oraz punkt P (1, 2, 0).

Znaleźć:

a) symetryczne odbicie punktu P względem prostej l,
b) odległość punktu P od prostej l.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. [4p.] a) Znaleźć funkcję holomorficzną f (z), gdy dana jest jej część rzeczywista

u(x, y) = ln(x

2

+ y

2

)

[2p.] b) Rozwiązać w płaszczyźnie zespolonej równanie z

4

+ 16 = 0. Wyniki przedstawić w

postaci algebraicznej.

6. [4p.] Znaleźć oryginał, gdy dana jest transformata Laplace’a

F (s) =

s

3

− 2s

2

+ 4s + 8

s

4

+ 4s

3

+ 8s

2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. *) [dla chętnych] [3p.] Obliczyć kąt między wektorami ~a i ~b, jeśli wiadomo, że wektory

~

u = −~a + 4~b

i

~

v = 3~a + 2~b

s¸

a prostopadłe oraz |~a| = |~b| = 1.