Egzamin połówkowy z przedmiotów

„Matematyka elementarna” i „Analiza matematyczna I”

WETI, kierunek IBM, 1 sem., r. ak. 2010/2011

1. [4p.] Wyznaczyć f

−1

(x) oraz D

f

−1

∩ D

g

, gdzie D

f

−1

oznacza dziedzinę funkcji odwrotnej do

f (x) = cos (x + π) − 4, a D

g

dziedzinę funkcji g(x) =

3

q

log(x

2

− 16).

2. [4p.] a) Obliczyć granicę ciągu lim

n→∞

(a

n

· ln b

n

− c

n

), gdzie

a

n

=

n

√

2

n

+ 3

n

+ 5

n

,

b

n

=



n − 2

n + 5



n

3

,

c

n

=

√

n + 1 −

√

n

[2p.] b) Zbadać mototoniczność ciągu o wyrazie ogólnym a

n

=

3n + 1

n + 3

.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. [4p.] Wyznaczyć wartości parametrów k, m ∈ R tak, aby funkcja h(x)

h(x) =







































x · | sin k|

dla

x ¬ −1

x

1 + e

x

1+x

dla

−1 < x < 0

3

2m

− 3

m

dla

x = 0

arcctg (1 − ln

√

x)

dla

x > 0

była ciągła dla dowolnej liczby rzeczywistej.

4. [4p.] Wyznaczyć f

0

(a), gdzie

f (x) =



b

2

x



x

parametr a jest rozwiązaniem równania

√

x + 1 = x − 5, natomiast b otrzymamy obliczając

b = 4 sin 105

◦

· cos 105

◦

[2p.] b) Wykorzystując różniczkę zupełną funkcji obliczyć przybliżoną wartość ln(1, 01).

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. [4p.] Znaleźć wszystkie asymptoty funkcji g(x) = 2x · arctg

1

x

2

.

6. [4p.] a) Zbadać monotoniczność oraz wyznaczyć wartość najmniejszą i największą funkcji

h(x) =

1

x

− ln

1

x

w przedziale x ∈ he

−1

, ei.

[2p.] b) Korzystając z definicji wyprowadzić wzór na pochodną funkcji y = sin 3x.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. *) [dla chętnych] [3p.] Wykorzystując wzór Maclaurina przybliżyć funkcję

f (x) = arctg x

wielomianem trzeciego stopnia.