Egzamin poprawkowy z przedmiotu „Analiza matematyczna i algebra liniowa”

WETI, kierunek IBM, 1 sem., r. ak. 2009/2010

1. [7p.] Wyznaczyć wartości parametru k ∈ R, dla których funkcja f (x) jest ciągła

f (x) =











x

3

− 1

1 − x,

dla

x 6= 1

6k

2

− k − 5

dla

x = 1

2. [7p.] Napisać równanie stycznej do wykresu funkcji h(x) = (

√

ax)

cos x

w punkcie o współrzędnej

x

0

=

π

b

, gdzie a = lim

n→∞

ln



n + 2

n − 3



5n

, natomiast b jest równe długości wektora ~

u = [2, 0].

[2p.] b) Wyprowadzić wzór na pochodną funkcji y = tg x.

3. [7p.] Obliczyć całki ( w punkcie b) zbadać zbieżność)

a)

Z

dx

3 + 2 sin x

b)

+∞

Z

2

ln

2

x

x

dx

4. [7p.] a) Wyznaczyć macierz X z równania A · X · (40B)

−1

= (A

−1

· B)

−1

, gdzie

A =

"

1

2

3 −2

#

,

B =

"

2

1

1 −2

#

[2p.] b) Podać i zilustrować na przykładach cztery rodzaje macierzy.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. [7p.] a) Znaleźć funkcję holomorficzną f (z), gdy dana jest jej część rzeczywista

u(x, y) = x

2

− y

2

+ 2x

[2p.] b) Wyznaczyć

3

√

−i. Wynik przedstawić na płaszczyźnie zespolonej.

6. [7p.] a) Obliczyć

Z

D

Z

ln(1+x

2

+y

2

)dxdy, gdzie obszar D opisany jest nierównościami: x

2

+y

2

¬ 9,

x ­ 0 i y ¬ 0 . Wykonać odpowiedni rysunek.
[2p.] b) Wyprowadzić jakobian przekształcenia dla współrzędnych biegunowych.

7. *) [dla chętnych] [5p.] Obliczyć pole trójkąta o wierzchołkach w punktach A(1, −1, 3), B(0, 2, −2)

i C(4, 2, 0).