Egzamin połówkowy z przedmiotu „Analiza matematyczna i algebra liniowa”
WETI, kierunek EiT, 1 sem., r. ak. 2009/2010
1. [4p.] Wyznaczyć wartości parametrów m, k ∈ R tak, aby funkcja f (x) była ciągła dla dowolnego
x ∈ R
f (x) =
k −
2
π
· arctg (log
3
|x − 1|)
dla
x < 1
π − |x − 1|
dla
1 ¬ x ¬ 3
1
π
−x
3−x
+ mx
dla
x > 3
Dla obliczonej wartości parametru k wyznaczyć dziedzinę i przeciwdziedzinę funkcji
g(x) = arc cos (x − 1) + k
2. [4p.] Napisać równanie stycznej do wykresu funkcji h(x) = x
√
a sin x
w punkcie o współrzędnej
x
0
= b
2
·
π
2
, gdzie a = lim
n→∞
ln
n
2
n
2
− 1
!
4n
2
, natomiast b jest ujemnym pierwiastkiem równania
x
2
− 2x − 3 = 0.
[2p.] b) Zbadać monotoniczność ciągu o wyrazie ogólnym a
n
=
2n − 1
n + 2
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. [4p.] a) Wyznaczyć punkty przegięcia oraz przedziały, w których funkcja y = ln(1 + x
2
) jest
jednocześnie malejąca i wypukła w dół.
[2p.] b) Korzystając z definicji pochodnej wyprowadzić wzór na pochodną funkcji y =
1
sin x
.
4. [4p.] Obliczyć całki
a)
Z
arcctg
√
x dx
b)
Z
(x ln x)
2
dx
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. [4p.] a) Obliczyć całkę
Z
sin xdx
1 + cos x + sin x
[2p.] b) W oparciu o twierdzenie o całkowaniu przez podstawienie wyprowadzić wzór na całkę
Z
f
n
(x)f
0
(x)dx.
6. [4p.] Obliczyć całkę
Z
dx
e
αx
+ e
−αx
,
gdzie α jest równe długości wektora ~
u = [0, 2].
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7. *) [dla chętnych] [3p.] Korzystając z rozwinięcia Taylora przedstawić wielomian
W (x) = x
3
− 3x
2
+ x − 2
w postaci sumy potęg dwumianu x + 2.