Egzamin końcowy z przedmiotu „Analiza matematyczna i algebra liniowa”

WETI, kierunek EiT, 1 sem., r. ak. 2009/2010

1. [4p.] Obliczyć objętość bryły otrzymanej przez obrót dookoła osi OX obszaru ograniczonego

krzywą o równaniu

f

(x) =











|x| dla x ∈ h−1, 1i

1

x

2

dla pozostałych x

oraz prostą y = 0. Wykonać rysunek otrzymanej bryły.

2. [4p.] a) W zależności od parametru λ podać liczbę rozwiązań układu równań











x

+ λy + z = 1

2x + y + z = λ

x

+ y + λz = λ

2

[2p.] b) Podać po jednym przykładzie macierzy trójkątnej górnej i macierzy diagonalnej stopnia
n

­ 4 oraz obliczyć wartości wyznaczników tych macierzy.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. [4p.] a) Znaleźć punkt symetryczny do punktu A(1, −2, 0) względem płaszczyzny o równaniu

2x − y + 3z − 1 = 0.
[2p.] b)Podać (wraz z uzasadnieniem) po jednym przykładzie wektorów kolinearnych i koplanarnych
w R

3

.

4. [4p.] Wyznaczyć funkcję holomorficzną f (z), jeśli dana jest jej część rzeczywista

u

(x, y) =

x

x

2

+ y

2

− 2x

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. [4p.] a) Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji g(x, y) = e

x−y

(y

2

− 2x

2

).

[2p.] b) Pokazać, że nie istnieje granica funkcji

lim

(x,y)→(0,0)

x

2

− y

2

(x + y)

2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6. [4p.] Obliczyć

Z

D

Z

cos

q

x

2

+ y

2

dxdy

gdzie obszar D opisany jest nierównościami: x

2

+ y

2

¬ π

2

, x

2

+ y

2

­

π

2

4

i y ­ |x| . Wykonać

odpowiedni rysunek.

7. *) [dla chętnych] [3p.] Rozwiązać w płaszczyźnie zespolonej równanie z

3

+ ki = 0, gdzie

k

=

√

3 − i

2

!

12