Poprawkowe kolokwium zaliczeniowe z przedmiotu „Analiza matematyczna II”

WETI, kierunki AiR, EiT i IBM, 2 sem., r. ak. 2011/2012 - termin dodatkowy

1. [7p.] a) Obliczyć objętość bryły V opisanej nierównościami

x

2

+ y

2

+ z

2

¬ 4z,

x

2

+ y

2

¬ z

2

,

y ­ 0

Wykonać odpowiedni rysunek.
[2p.] b) Sprawdzić, czy całka

Z

L

2(xe

−y

− 1)dx + (e

y

− x

2

e

−y

)dy

nie zależy od drogi całkowania.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. [7p.] a) Korzystając z twierdzenia Greena obliczyć całkę

Z

K

(x

2

+ y

2

)dx +

1

2

(x + y)

2

dy,

gdzie K jest brzegiem trójkąta o wiechchołkach (2, 2), (1, 3) i (1, 1) zorientowanym dodatnio.
Wykonać odpowiedni rysunek.
[2p.] b) Wyznaczyć dywergencję i rotację pola wektorowego ~

W = [xy ln z

2

, cos(x + yz), e

xyz

].

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. [7p.] a) Wyznaczyć całkę szczególną równania

y

0

+ tgx y = y

2

sin x

spełniającą warunek początkowy y(0) = 1.
[2p.] b) Sprawdzić, czy równanie (y

2

cos x − 3x

2

y − 2x)dx + (2y sin x − x

3

+ ln y)dy = 0 jest

równaniem różniczkowym zupełnym.

4. [7p.] Wyznaczyć całkę ogólną równania y

000

− 9y

0

= x

2

− 3x.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. [7p.] Zbadać zbieżność szeregów liczbowych

a)

∞

X

n=1

√

n

2

+ 1

2n

2

+ n − 1

b)

∞

X

n=1

(2n)!

n

2n

[2p.] c) Podać po jednym przykładzie szeregu rozbieżnego spełniającego warunek konieczny
zbieżności oraz szeregu naprzemiennego zbieżnego warunkowo.

6. [7p.] Rozwinąć funkcję f (x) =

x

2

x

2

+ 1

w szereg Maclaurina. Podać przedział zbieżności otrzyma-

nego szeregu.

7. *) [dla chętnych] [5p.] Wyznaczyć sumę szeregu liczbowego

∞

X

n=1

ln



1 −

1

n

2