Dodatkowe kolokwium poprawkowe z przedmiotu „Analiza matematyczna II”

WETI, kierunki AiR, EiT i IBM, 2 sem., r. ak. 2010/2011

1. [7p.] a) Obliczyć objętość bryły V ograniczonej powierzchniami

x

2

+ y

2

= z

2

i

x

2

+ y

2

= 2y

dla x ¬ 0. Wykonać odpowiedni rysunek.
[2p.] b) Wyprowadzić jakobian przekształcenia dla współrzędnych walcowych.

2. [7p.] Uzasadnić, że całka

Z

L

3y sin 3xdx − cos 3xdy

nie zależy od drogi całkowania. Wyznaczyć jej wartość, gdy łuk L jest dowolnym łukiem gładkim
skierowanym od punktu A(

π

6

, 1) do punktu B(

π

3

, 2).

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. [7p.] a) Korzystając z twierdzenia Gaussa-Ostrogradzkiego obliczyć całkę

Z

S

Z

x

3

dydz + y

3

dxdz + z

3

dxdy

gdzie S jest zewnętrzną stroną powierzchni o równaniu x

2

+ y

2

+ z

2

= π

2

. Wykonać odpowiedni

rysunek.

[2p.] b) Wyznaczyć gradient funkcji skalarnej F (x, y, z) = z − arctg

x

y

.

4. [7p.] Zbadać zbieżność szeregów liczbowych

a)

∞

X

n=1

√

2n

3

+ n − 1

3n

3

+ 2n − 3

b)

∞

X

n=1

5

n

(n!)

2

(2n)!

[2p.] c) Na podstawie definicji zbadać zbieżność szeregu liczbowego

∞

P

n=1

1

n

2

+ 3n + 2

.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. [7p.] Wyznaczyć przedział zbieżności oraz określić rodzaj zbieżności w krańcach przedziału

zbieżności szeregu potęgowego

∞

X

n=1

(−2)

n

(x − 1)

n

√

n

3

6. [7p.] a) Wyznaczyć całkę szczególną równania y

0

+ y tg x = sin 2x spełniającą warunek począt-

kowy y(π) = 1.
[2p.] b) Sprawdzić, czy równanie różniczkowe 2 (xe

−y

− 1) dx−(e

y

− x

2

e

−y

) dy = 0 jest zupełne.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. *) [dla chętnych] [5p.] Wyznaczyć rozwiązanie równania różniczkowego

y

00

− 2y

0

+ 2y = sin x

przy zadanych warunkach początkowych y(0) = 0, y

0

(0) = 1.

Zadanie można rozwiązać również przy zastosowaniu transformaty Laplace’a.