Egzamin połówkowy z „Analizy matematycznej II”

WETI, AiR, 2 sem., r. ak. 2010/2011

1. [4p.] a) Obliczyć objętość bryły V ograniczonej powierzchniami

x

2

+ y

2

= z

2

i

x

2

+ y

2

= 4x

Wykonać odpowiedni rysunek.
[2p.] b) Wyprowadzić jakobian przekształcenia dla współrzędnych sferycznych uogólnionych
dowolnego typu.

2. [4p.] Obliczyć

Z

K

(x − y)dx − (x + y)dy, gdzie K jest łukiem krzywej o równaniu

4x

2

+ 9y

2

= 36

od punktu A(−3, 0) do punktu B(0, −2).

3. [4p.] Korzystając z twierdzenia Greena obliczyć całkę

Z

K

xye

−x

dx + e

−2x

y

2

dy

gdzie K jest zorientowanym dodatnio brzegiem obszaru ograniczonego krzywymi y = e

x

oraz y = e

2x

i prostą x = 2. Wykonać odpowiedni rysunek.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. [4p.] Obliczyć

Z

S

Z

(x

2

+ y

2

+ z)dS, gdzie S jest częścią powierzchni z = x + 2y leżącą nad

obszarem D = {(x, y) ∈ R

2

: 0 ¬ x ¬

π

2

, 0 ¬ y ¬ sin x}.

5. [4p.] a) Sprawdzić, czy pole ~

W = y

2

e

xy

~i + (xy + 1)e

xy

~j jest potencjalne. Jeśli tak, znaleźć

jego potencjał.
[2p.] b) Uzasadnić, że

grad(ϕψ) = ϕ gradψ + ψ gradϕ

gdzie ϕ , ψ są różniczkowalnymi polami skalarnymi.

6. [4p.] Zbadać zbieżność szeregów liczbowych

a)

∞

X

n=1

3

√

n + 3

2n

√

n + n − 1

b)

∞

X

n=1

(n + 2)

n

2

6

n

n

n

2

[2p.] c) Podać dwa przykłady szeregów rozbieżnych, z których jeden spełnia warunek
konieczny zbieżności, a drugi go nie spełnia. Odpowiedź uzasadnić.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. *) [dla chętnych] [3p.] Wyznaczyć sumę szeregu

∞

X

n=2

sin

1

2

n

cos

3

2

n