Egzamin połówkowy z „Analizy matematycznej i algebry liniowej”
WETI, AiR gr.1-3, 2 sem., r. ak. 2008/2009
1. [4p.] Obliczyć
Z
L
(x
2
− y
2
)dx + 2xydy,
gdzie L jest łukiem opisanym równaniem x
2
+ y
2
= 1, dla x 0 i y 0, skierowanym od
punktu A(1, 0) do punktu B(0, 1).
2. [4p.] a) Korzystając z twierdzenia Greena obliczyć całkę
Z
K
tg x dx + y tg
2
x dy,
gdzie K jest brzegiem prostokąta o wierzchołkach w punktach A(0, 1), B(
π
4
, 1), C(
π
4
, 3) i
D(0, 3) skierowanym dodatnio.
[2p.] b) Przedstawić (wzór, opis, rysunek) zastosowanie geometryczne całek krzywolinio-
wych skierowanych.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. [4p.] Uzasadnić, że całka
Z
L
xdx + ydy
x
2
+ y
2
nie zależy od drogi całkowania. Wyznaczyć jej wartość, gdy łuk L jest dowolnym łukiem
gładkim skierowanym od punktu A(1, 0) do punktu B(6, 8), nie przechodzącym przez
początek układu współrzędnych.
4. [4p.] a) Rozwiązać w zbiorze liczb zespolonych równanie z
3
+3z
2
+4z −8 = 0. Rozwiązania
równania zaznaczyć na płaszczyźnie zespolonej.
[2p.] b) Pokazać, że dla dowolnych dwóch liczb zespolonych z
1
i z
2
zachodzi
z
1
z
2
=
z
1
z
2
,
przy założeniu, że z
2
6= 0.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. [4p.] Korzystając ze wzoru całkowego Cauchy’ego lub jego uogólnienia obliczyć całkę
Z
C
ze
πz
dz
(z
2
+ 4)
2
,
gdzie C jest okręgiem |z + 2i| = 2 zorientowanym dodatnio.
6. [4p.] a) Obliczyć całkę
Z
S
Z
(xz +
q
1 + 4y)dS,
gdzie S jest częścią powierzchni o równaniu y = x
2
, zawartą między płaszczyznami z = 0,
z = 2 i y = 1.
[2p.] b) Zdefiniować i podać przykład gładkiego płata powierzchniowego względem płasz-
czyzny Y OZ.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7. *) [dla chętnych] [3p.] Zbadać holomorficzność funkcji f (z) =
1
z
+ (z − 2i)
2
− i.