Egzamin z przedmiotu „Podstawy matematyki”

WETI, kierunki AiR i IBM, 1 sem., r. ak. 2012/2013

1. [5p.] a) Obliczyć granice ciągów:

g

1

= lim

n→∞

n

√

2

n

+ 2

−n

+ cos

2

n,

g

2

= lim

n→∞

2n

3

+ 1

2n

3

− 5

!

n

3

−3

Następnie wyznaczyć dziedzinę oraz przeciwdziedzinę funkcji

f (x) =

1

2

arc sin(5x + g

1

) − ln g

2

[2p.] b) Korzystając z definicji pokazać, że liczba g = −2 jest granicą ciągu a

n

=

1 − 4n

2n + 3

.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. [5p.] a) Wyznaczyć wartości parametrów a, b ∈ R tak, aby funkcja h(x)

h(x) =































x

1 + e

1
x

− e

x

dla

x < 0

ln

3

a − 4 ln a − 1

dla

x = 0

√

x + 1 − 1

2x

− |b|

dla

x > 0

była ciągła dla dowolnej liczby rzeczywistej.
[2p.] b) W oparciu o warunek konieczny i wystarczający istnienia granicy zbadać istnienie

granicy funkcji f (x) =

tg 2|x|

3x

w punkcie x

0

= 0.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. [5p.] a) Obliczyć pochodną funkcji g(x) = cos

2

2x i rozwiązać równanie g

0

(x) + 4g(x) = 0.

[2p.] b) Korzystając z różniczki zupełnej obliczyć przybliżoną wartość (1, 03)

1,03

.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. [5p.] a) Wyznaczyć asymptoty wykresu funkcji y = (x − 1)arcctg

1

(1 − x)

2

.

[2p.] b) Wykazać, że funkcja h(x) = 2x

3

+ 6x

2

+ 30x + 5 jest ściśle rosnąca w przedziale

(−∞, +∞).

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. [5p.] a) Wyznaczyć punkt przegięcia, o ile istnieje, wykresu funkcji

f (x) =

x

2

ln



2

x

− 1



oraz styczną do wykresu funkcji w tym punkcie.
[2p.] b) Korzystając z definicji obliczyć pochodną funkcji y = sin

3

√

x w punkcie x

0

= 0.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6. *) [dla chętnych] [3p.] Korzystając ze wzoru Maclaurina uzasadnić, że dla każdego x > 0

zachodzi nierówność

√

1 + 2x > 1 + x −

x

2

2