Egzamin z przedmiotu „Analiza matematyczna I”
WETI, kierunki AiR i IBM, 1 sem., r. ak. 2013/2014
1. [9 p. ] Obliczyć całki (w punkcie b) zbadać zbieżność)
+ ∞
Z
dx
Z
dx
a)
b)
√
3 + ctg x
(3 + x) x
1
Z
[3 p. ] c) Wyprowadzić wzór rekurencyjny na całkę tg n x dx.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. [9 p. ] a) Obliczyć pole powierzchni bocznej bryły otrzymanej przez obrót dookoła osi OX obszaru ograniczonego funkcją y = x 3 i osią OX w zakresie od x = 0 do x = 1. Wykonać rysunek otrzymanej bryły.
[3 p. ] b) Wykorzystując własności całek z funkcji nieparzystych lub nieparzystych uzasadnić π
Z
równość
ex 2 sin xdx = 0.
−π
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
zx
1
3. [9 p. ] a) Dla funkcji f ( x, y, z) =
− z 2 ex + x 2 y −
wyznaczyć zbiór D tych punktów
y
z
( x, y, z) ∈ R 3, dla których spełniona jest równość
∂ 4 f
1
( x, y, z) = −
∂y 2 ∂z∂x
4
[3 p. ] b) Stosując różniczkę zupełną funkcji dwóch zmiennych obliczyć przybliżoną wartość
√
wyrażenia
10001 · ln (1 , 01)4.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. [9 p. ] a) Wyznaczyć wartość najmniejszą i największą funkcji g( x, y) = 2 x 2 −y 2 +12 x w obszarze D określonym nierównością x 2 + y 2 ¬ 16.
1
[3 p. ] b) Określić wartość funkcji f ( x, y) =
sin x 2 y w punkcie (0 , 2) tak, aby była ona ciągła x 2
w tym punkcie.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
√
5. [9 p. ] a) Obliczyć pole powierzchni płata wyciętego z powierzchni z = 2 −
x 2 + y 2 przez
powierzchnię x 2 + y 2 = 2 y. Wykonać rysunek.
[3 p. ] b) Zdefiniować obszar na płaszczyźnie normalny względem osi OY .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6. *) [ dla chętnych] [5 p. ] Wyprowadzić wzór na objętość elipsoidy o równaniu x 2
y 2
z 2
+
+
= 1
a 2
b 2
c 2