Egzamin i zaliczenie poprawkowe z matematyki
WBWiI´
S, 2 sem., r. akad. 2001/2002
1. Wyznaczy´c ekstrema lokalne funkcji f (x, y) = 3x + 5 ln(x
2
+ y
2
+ 1).
2. Znale´z´c rozwi¸azanie r´ownania r´o˙zniczkowego y
0
− tgx y = cos
2
x sinx speÃlniaj¸ace
warunek pocz¸atkowy y(π/4) =
√
2/2.
3. Zbada´c zbie˙zno´s´c szereg´ow liczbowych
a)
∞
X
n=1
(−1)
n
2
n
µ
n
n + 1
¶
n
2
,
b)
∞
X
n=1
(n + 2)!(n − 1)!
(2n)!
π
n
i okre´sli´c jej rodzaj.
Poda´c definicj¸e szeregu liczbowego i definicj¸e jego zbie˙zno´sci.
4. Obliczy´c
Z
AB
cos 4y dx − 4x sin 4y dy po dowolnym Ãluku gÃladkim od punktu A(1, π/6)
do B(2, π/4).
SformuÃlowa´c twierdzenie o niezale˙zno´sci caÃlki krzywoliniowej od drogi caÃlkowania.
5. Korzystaj¸ac z twierdzenia Greena obliczy´c caÃlk¸e
I
K
(e
y
cos x − e
x
) dx + (e
y
sin x − x
2
) dy
gdzie K jest dodatnio zorientowanym brzegiem figury D = {(x, y) ∈ IR
2
: 0 ≤ y ≤
sin x, 0 ≤ x ≤ π}.
6. Sprawdzi´c, czy funkcja u(x, y) = arctg(2x−y) speÃlnia r´ownanie r´o˙zniczkowe cz¸astkowe
u
xx
− 2u
xy
= 0.
7. Korzystaj¸ac ze wzoru caÃlkowego Cauchy’ego obliczy´c
I
L
ze
2πz
(z
2
+ 4)
2
dz, gdzie L jest
dodatnio skierowanym tr´ojk¸atem o wierzchoÃlkach w punktach z = 0, z = 1 + 3i i
z = −1 + 3i na pÃlaszczy´znie zespolonej.
Poda´c warunek wystarczaj¸acy istnienia pochodnej funkcji zmiennej zespolonej.
8. Stosuj¸ac wsp´oÃlrz¸edne sferyczne obliczy´c caÃlk¸e potr´ojn¸a
ZZ
V
Z
z
q
x
2
+ y
2
+ z
2
dx dy dz,
gdzie V jest bryÃl¸a opisan¸a nier´owno´sciami 0 ≤ z ≤
p
4 − x
2
+ y
2
, x ≤ y i x ≥ 0.
SformuÃlwa´c twierdzenie o zamianie zmiennych w caÃlce potr´ojnej.