Egzamin i zaliczenie poprawkowe z matematyki

WBWiI´

S, 2 sem., r. akad. 2001/2002

1. Wyznaczy´c ekstrema lokalne funkcji f (x, y) = 3x + 5 ln(x

2

+ y

2

+ 1).

2. Znale´z´c rozwi¸azanie r´ownania r´o˙zniczkowego y

0

− tgx y = cos

2

x sinx speÃlniaj¸ace

warunek pocz¸atkowy y(π/4) =

√

2/2.

3. Zbada´c zbie˙zno´s´c szereg´ow liczbowych

a)

∞

X

n=1

(−1)

n

2

n

µ

n

n + 1

¶

n

2

,

b)

∞

X

n=1

(n + 2)!(n − 1)!

(2n)!

π

n

i okre´sli´c jej rodzaj.
Poda´c definicj¸e szeregu liczbowego i definicj¸e jego zbie˙zno´sci.

4. Obliczy´c

Z

AB

cos 4y dx − 4x sin 4y dy po dowolnym Ãluku gÃladkim od punktu A(1, π/6)

do B(2, π/4).
SformuÃlowa´c twierdzenie o niezale˙zno´sci caÃlki krzywoliniowej od drogi caÃlkowania.

5. Korzystaj¸ac z twierdzenia Greena obliczy´c caÃlk¸e

I

K

(e

y

cos x − e

x

) dx + (e

y

sin x − x

2

) dy

gdzie K jest dodatnio zorientowanym brzegiem figury D = {(x, y) ∈ IR

2

: 0 ≤ y ≤

sin x, 0 ≤ x ≤ π}.

6. Sprawdzi´c, czy funkcja u(x, y) = arctg(2x−y) speÃlnia r´ownanie r´o˙zniczkowe cz¸astkowe

u

xx

− 2u

xy

= 0.

7. Korzystaj¸ac ze wzoru caÃlkowego Cauchy’ego obliczy´c

I

L

ze

2πz

(z

2

+ 4)

2

dz, gdzie L jest

dodatnio skierowanym tr´ojk¸atem o wierzchoÃlkach w punktach z = 0, z = 1 + 3i i
z = −1 + 3i na pÃlaszczy´znie zespolonej.
Poda´c warunek wystarczaj¸acy istnienia pochodnej funkcji zmiennej zespolonej.

8. Stosuj¸ac wsp´oÃlrz¸edne sferyczne obliczy´c caÃlk¸e potr´ojn¸a

ZZ

V

Z

z

q

x

2

+ y

2

+ z

2

dx dy dz,

gdzie V jest bryÃl¸a opisan¸a nier´owno´sciami 0 ≤ z ≤

p

4 − x

2

+ y

2

, x ≤ y i x ≥ 0.

SformuÃlwa´c twierdzenie o zamianie zmiennych w caÃlce potr´ojnej.