Egzamin z matematyki, 2 sem. WBWiI´

S, r. 2001/2002

Nazwisko i imi¸e ........................................................................................... Grupa ..........

I. Cz¸e´s´

c zadaniowa

1. Korzystaj¸ac ze wzoru Cauchy’ego obliczy´c

I

C

e

z

z(z + i)

2

dz, gdzie C jest okr¸egiem

zorientowanym dodatnio o ´srodku w punkcie i oraz promieniu 1/2.

2. a) Zbada´c zbie˙zno´s´c szeregu liczbowego

∞

X

n=1

(2n)!

n

2n

.

b) Wyznaczy´c obszar zbie˙zno´sci szeregu i zbada´c zbie˙zno´s´c na ko´

ncach przedziaÃlu

∞

X

n=1

(−1)

n

3

n−1

√

n

x

n

3. Rozwi¸aza´c r´ownanie y

0

− y tg t = − sin 2t

cos t .

4. Wyznaczy´c ekstrema funkcji f (x, y) = e

y−x

(y

2

− 2x

2

).

5. Obliczy´c

ZZ

B

Z

z

x

2

+ y

2

dx dy dz, gdzie B jest poÃlo˙zonym na zewn¸atrz walca x

2

+y

2

= 14

obszarem ograniczonym powierzchniami x

2

+ y

2

+ z

2

= 2 i z =

p

x

2

+ y

2

.

6. Obliczy´c

Z

K

(1 + ln x +

y
x

) dx − (1 − ln x) dy po dowolnym Ãluku gÃladkim od punktu

A(e, 2) do B(1, 1) le˙z¸acym w pasie x > 0.

II. Cz¸e´s´

c teoretyczna

T.1 SformuÃlowa´c twierdzenie o r´o˙zniczkowalno´sci funkcji uwikÃlanej. Poda´c przykÃlad

funkcji, danej w spos´ob uwikÃlany, speÃlniaj¸acej zaÃlo˙zenia tego twierdzenia oraz policzy´c
jej pochodn¸a w wybranym punkcie.

T.2 Poda´c definicj¸e obszaru normalnego wzgl¸edem osi OX. Poda´c przykÃlad obszaru

(wykona´c rysunki), kt´ory jest
a) normalny wzgl¸edem osi OX, a nie jest normalny wzgl¸edem osi OY ,
b) normalny wzgl¸edem osi OY , a nie jest normalny wzgl¸edem osi OX,
c) normalny zar´owno wzgl¸edem osi OX jak i osi OY .

T.3 SformuÃlowa´c twierdzenie o rozwijaniu funkcji w szereg Taylora.

Korzystaj¸ac z

rozwini¸e´c podstawowych funkcji elementarnych przedstawi´c w postaci szeregu Maclau-
rina funkcj¸e f (x) = cos

2

x. Poda´c przedziaÃl zbie˙zno´sci otrzymanego szeregu.

T.4 Poda´c twierdzenie Greena i poda´c przykÃlad (z rozwi¸azaniem) obliczania caÃlki przy

zastosowaniu tego twierdzenia.