Egzamin i zaliczenie poprawkowe z matematyki

Termin dodatkowy, WILiŚ, 2 sem., r. akad. 2004/2005

1. Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji f (x, y) = e

2x

(x + y

2

+ 2y).

2. Korzystając ze współrzędnych sferycznych obliczyć całkę

ZZ

V

Z

dx dy dz

x

2

+ y

2

+ 2z

2

,

gdzie obszar V jest określony warunkami 4 ¬ x

2

+ y

2

+ z

2

¬ 16, x ­ 0, y ­ 0

i z ­ 0.
Sformułować twierdzenie o zamianie zmiennych w całce potrójnej.

3. Korzystając ze wzoru całkowego Cauchy’ego obliczyć

I

C

ze

2πz

z

2

+ 1

dz, gdzie C jest

łamaną zamkniętą skierowaną dodatnio o wierzchołkach 0, 1 + 2i, −1 + 2i.

4. Korzystając z twierdzenia Greena obliczyć

I

L

q

x

2

+ y

2

dx + (xy

2

+ y ln(x +

q

x

2

+ y

2

) dy

gdzie L jest dodatnio zorientowanym brzegiem figury D ograniczonej krzywymi
y =

√

x i y = x

2

.

Sformułować twierdzenie Gaussa-Ostrogradzkiego.

5. Wyznaczyć przedział zbieżności szeregu

∞

X

n=1

(x + 2)

n

√

n · 4

n

i zbadać jego zbieżność na końcach przedziału.
Podać definicję szeregu liczbowego i definicję jego zbieżności.

6. Wyznaczyć całkę szczególną równania y

0

+ y cos x = 1

2

sin 2x z warunkiem

początkowym y(0) = 1.