Egzamin końcowy z analizy matematycznej
WETI, EiT (gr. 1-6), 1 sem., r. ak. 2006/2007
1. Obliczyć całki nieoznaczone
a)
Z
cos 2x
sin x − sin
3
x
dx
b)
Z
x
arctg x)
2
dx
2. a) Obliczyć całkę oznaczoną
1
Z
0
dx
e
4x
+ 4e
2x
+ 3
b) W oparciu o twierdzenie o całkowaniu przez części dla całek nieoznaczonych wyprowadzić
wzór rekurencyjny na całkę
R
(ln x)
n
dx.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. a) Zbadać zbieżność całki
1
Z
0
ln(x + 1)dx
x
√
x
b) Omówić i zilustrować w interpretacji geometrycznej po jednym przypadku każdego rodzaju
całek niewłaściwych.
4. Obliczyć pole obszaru zawartego pomiędzy wykresami funkcji y =
2
x
2
+ 3
i y =
5
x
2
+ 3
.
Wykonać odpowiedni rysunek.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. Zbadać zbieżność szeregów liczbowych
a)
∞
X
n=1
2n + ln n
3
√
2n
7
+ n
5
− n
3
+ 1
b)
∞
X
n=1
(−1)
n
n
n
2
8
n
(n + 3)
n
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6. a) Wyznaczyć przedział zbieżności szeregu
∞
P
n=0
(n + 2)x
n
3
n
oraz znaleźć jego sumę w tym prze-
dziale.
b) Korzystając z kryterium całkowego zbadać zbieżność szeregu
∞
X
n=2
1
n ln
1+s
n
gdzie s = const, s > 0.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7. *) [dla chętnych] Stosując rozwinięcie funkcji e
x
w szereg Maclaurina obliczyć granicę
lim
x→0
e
x
− x − 1
x
2