Egzamin końcowy z analizy matematycznej

WETI, EiT (gr. 1-6), 1 sem., r. ak. 2006/2007

1. Obliczyć całki nieoznaczone

a)

Z

cos 2x

sin x − sin

3

x

dx

b)

Z

x



arctg x)

2

dx

2. a) Obliczyć całkę oznaczoną

1

Z

0

dx

e

4x

+ 4e

2x

+ 3

b) W oparciu o twierdzenie o całkowaniu przez części dla całek nieoznaczonych wyprowadzić
wzór rekurencyjny na całkę

R

(ln x)

n

dx.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. a) Zbadać zbieżność całki

1

Z

0

ln(x + 1)dx

x

√

x

b) Omówić i zilustrować w interpretacji geometrycznej po jednym przypadku każdego rodzaju
całek niewłaściwych.

4. Obliczyć pole obszaru zawartego pomiędzy wykresami funkcji y =

2

x

2

+ 3

i y =

5

x

2

+ 3

.

Wykonać odpowiedni rysunek.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. Zbadać zbieżność szeregów liczbowych

a)

∞

X

n=1

2n + ln n

3

√

2n

7

+ n

5

− n

3

+ 1

b)

∞

X

n=1

(−1)

n

n

n

2

8

n

(n + 3)

n

2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6. a) Wyznaczyć przedział zbieżności szeregu

∞

P

n=0

(n + 2)x

n

3

n

oraz znaleźć jego sumę w tym prze-

dziale.
b) Korzystając z kryterium całkowego zbadać zbieżność szeregu

∞

X

n=2

1

n ln

1+s

n

gdzie s = const, s > 0.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. *) [dla chętnych] Stosując rozwinięcie funkcji e

x

w szereg Maclaurina obliczyć granicę

lim

x→0

e

x

− x − 1

x

2