Egzamin poprawkowy z analizy matematycznej

WETI, EiT (gr. 1-6), 1 sem., r. ak. 2006/2007

1. a) Obliczyć granice

lim

n−→∞

2

2n+1

+ (−3)

n

2

2n

+ π

n

lim

x−→1

−

arcctg



log

1
2

x

|1 − x|



lim

x−→0

+

e

x−3

x2

b) Podać dowolne dwa przykłady ciągów monotonicznych różnych typów monotoniczności i
określić ich rodzaj.

2. a) Wyznaczyć najmniejszą i największą wartość funkcji f (x) = ln

2

x − 2 ln x w przedziale

x ∈ [1, 7].
b) Na podstawie twierdzenia o działaniach arytmetycznych na pochodnych wyprowadzić wzór
na pochodną funkcji y = ctg x.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Obliczyć całki (w punkcie b) zbadać zbieżność)

a)

Z

ctg x dx

sin x + cos x − 1

b)

1

Z

0

1

x

2

arctg x dx

4. a) Obliczyć pole obszaru zawartego pomiędzy wykresami funkcji y = e

−x

, y = e

3x

i y =

√

e.

Wykonać odpowiedni rysunek.
b) W oparciu o twierdzenie o całkowaniu przez podstawienie dla całek nieoznaczonych wypro-

wadzić wzór na całkę

Z

f

0

(x) dx

q

f (x)

dx.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. Zbadać zbieżność szeregów liczbowych i określić jej rodzaj

a)

∞

X

n=1

(n + 1)

n

3

n

(n − 1)!

b)

∞

X

n=1

(−1)

n+1

3

√

n

2

+ 1

c) Korzystając z warunku koniecznego zbieżności pokazać, że szereg

∞

X

n=1

arc sin

n + 1

2n + 3

jest rozbieżny.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6. Wyznaczyć przedział zbieżności szeregu

∞

P

n=0

(n+3)5

n

x

n

oraz znaleźć jego sumę w tym przedziale.

7. *) [dla chętnych] Obliczyć pochodną funkcji y = (cos 3x)

(ln

2

x)

x3

.