Egzamin końcowy z analizy matematycznej

WETI, AiR + EiT, 1 sem., r. ak. 2006/2007

1. Obliczyć całki nieoznaczone

a)

Z

1 + cos x

(cos x + sin x + 2) sin

2

x

dx

b)

Z

ln x

x

!

2

dx

2. a) Obliczyć całkę oznaczoną

1

Z

0

dx

4

√

2x + 2 +

√

2x + 2

b) W oparciu o twierdzenie o całkowaniu przez podstawienie dla całek nieoznaczonych wypro-
wadzić wzór na całkę

R

f

n

(x) · f

0

(x) dx.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Zbadać zbieżność całki

+∞

Z

−∞

dx

e

x

+ e

−x

4. a) Obliczyć objętość bryły powstałej przez obrót dookoła osi OX wykresu funkcji

f (x) =

(

2

x

, x ¬ 0

−x

2

+ 1, x > 0

dla x ∈ (−∞, 1]. Wykonać rysunek.
b) Omówić 2 przykłady (inne niż w punkcie a) tego zadania) zastosowań geometrycznych całek
oznaczonych (wykonać rysunki i podać odpowiednie wzory).

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. Zbadać zbieżność szeregów liczbowych

a)

∞

X

n=1

(−1)

n

(n!)

2

3

n

(2n + 1)!

b)

∞

X

n=1

2n

2

− n + sin(n!)

√

n

5

+ 3n

2

− 1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6. a) Wyznaczyć przedział zbieżności szeregu

∞

P

n=0

x

n

(n + 1)5

n

oraz znaleźć jego sumę w tym prze-

dziale.

b) Wyznaczyć wartości parametru α, dla których szereg

∞

P

n=1

(−1)

n+1

4

√

n

α

jest zbieżny bezwzględnie.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. *) [dla chętnych] Stosując rozwinięcie funkcji e

x

w szereg Maclaurina obliczyć całkę

Z

e

−x

− 1

x

dx

Wynik zostawić w postaci szeregu.