Egzamin poprawkowy z analizy matematycznej

WETI, AiR (gr. 1-3) i EiT (gr. 7-9), 1 sem., r. ak. 2006/2007

1. a) Obliczyć granice

lim

n−→∞



3n

2

+ 1

3n

2

− 5



n2

2

lim

x−→2

−

ln

arcctg

x

(2 − x)

3

!

lim

x−→−3

−

sin 2|x + 3|

9 − x

2

b) Określić w interpretacji geometrycznej rodzaje punktów nieciągłości.

2. a) Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji f (x) = ln(x

2

− 1) +

1

x

2

−1

.

b) Na podstawie definicji wyprowadzić wzór na pochodną funkcji y = sin 2x.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Obliczyć całki (w punkcie b) zbadać zbieżność)

a)

Z

dx

sin x(2 − sin x)(cos x + 1)

b)

1

Z

0

x

2

ln(2x)dx

4. a) Obliczyć pole obszaru zawartego pomiędzy wykresami funkcji y = 1 − |x| i y = x

2

− 1.

Wykonać odpowiedni rysunek.
b) W oparciu o twierdzenie o całkowaniu przez części dla całek nieoznaczonych wyprowadzić
wzór rekurencyjny na całkę

R

x

n

e

x

dx.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. Zbadać zbieżność szeregów liczbowych i określić jej rodzaj

a)

∞

X

n=1

(n − 1)!(n + 2)!

(2n)!

π

2n

b)

∞

X

n=1

(−1)

n

(2n − 1)

3n

2

+ 1

c) Korzystając z definicji zbieżności szeregu

∞

P

n=1

1

n

2

+n

wyznaczyć jego sumę.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6. Wyznaczyć przedział zbieżności szeregu

∞

P

n=0

3

n

x

n

n + 3

oraz znaleźć jego sumę w tym przedziale.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. *) [dla chętnych] Obliczyć pochodną funkcji y = (ln x)

(sin 2x)

x2

.