Egzamin poprawkowy z analizy matematycznej
WETI, AiR (gr. 1-3) i EiT (gr. 7-9), 1 sem., r. ak. 2006/2007
1. a) Obliczyć granice
lim
n−→∞
3n
2
+ 1
3n
2
− 5
n2
2
lim
x−→2
−
ln
arcctg
x
(2 − x)
3
!
lim
x−→−3
−
sin 2|x + 3|
9 − x
2
b) Określić w interpretacji geometrycznej rodzaje punktów nieciągłości.
2. a) Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji f (x) = ln(x
2
− 1) +
1
x
2
−1
.
b) Na podstawie definicji wyprowadzić wzór na pochodną funkcji y = sin 2x.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Obliczyć całki (w punkcie b) zbadać zbieżność)
a)
Z
dx
sin x(2 − sin x)(cos x + 1)
b)
1
Z
0
x
2
ln(2x)dx
4. a) Obliczyć pole obszaru zawartego pomiędzy wykresami funkcji y = 1 − |x| i y = x
2
− 1.
Wykonać odpowiedni rysunek.
b) W oparciu o twierdzenie o całkowaniu przez części dla całek nieoznaczonych wyprowadzić
wzór rekurencyjny na całkę
R
x
n
e
x
dx.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. Zbadać zbieżność szeregów liczbowych i określić jej rodzaj
a)
∞
X
n=1
(n − 1)!(n + 2)!
(2n)!
π
2n
b)
∞
X
n=1
(−1)
n
(2n − 1)
3n
2
+ 1
c) Korzystając z definicji zbieżności szeregu
∞
P
n=1
1
n
2
+n
wyznaczyć jego sumę.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6. Wyznaczyć przedział zbieżności szeregu
∞
P
n=0
3
n
x
n
n + 3
oraz znaleźć jego sumę w tym przedziale.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7. *) [dla chętnych] Obliczyć pochodną funkcji y = (ln x)
(sin 2x)
x2
.