Kolokwium końcowe z przedmiotu „Analiza matematyczna i algebra liniowa”

WETI, kierunek EiT gr. 8-9, 2 sem., r. ak. 2008/2009

1. [4p.] Sprawdzić, czy pole wektorowe

~

w = [cos 4y, −4x sin 4y]

jest potencjalne. Jeśli tak, znaleźć jego potencjał.

2. [4p.] Zbadać zbieżność szeregów liczbowych

a)

∞

X

n=1

2n

2

+ 3

√

5n

5

− n + 1

b)

∞

X

n=1

7

n

(n!)

2

n

2n

[2p.] c) Podać dwa przykłady szeregów zbieżnych, z których jeden jest zbieżny bezwzględ-
nie, a drugi warunkowo.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. [4p.] a) Wyznaczyć przedział zbieżności i znaleźć sumę szeregu potęgowego

∞

X

n=0

nx

n

3

n

[2p.] b) Podać określenie promienia zbieżności szeregu potęgowego. Wyznaczyć jego war-
tość dla przykładu w punkcie a) tego zadania.

4. [4p.] Rozwinąć funkcję f (x) = ln

1 + x

1 + 2x

w szereg Maclaurina. Podać przedział zbieżności

otrzymanego szeregu.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. [4p.] Funkcja f (x) = 3 − x dla x ∈ [0, 3] posiada rozwinięcie w szereg trygonometryczny

Fouriera postaci

3

2

+

∞

X

n=1

6(1 − (−1)

n

)

π

2

n

2

cos

nπx

3

.

W oparciu o to rozwinięcie wyznaczyć sumę szeregu

∞

P

n=1

1−(−1)

n

n

2

.

6. [4p.] a) Stosując transformatę Laplace’a wyznaczyć rozwiązanie równania różniczkowego

y

00

+ 9y = 1 − e

t

przy zadanych warunkach początkowych y(0) = 0, y

0

(0) = 1.

[2p.] b) Wyprowadzić w oparciu o definicję transformatę Laplace’a funkcji jednostkowej.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. *) [dla chętnych] [3p.] Wyznaczyć rozwiązanie równania

y

0

+

2

x

y =

4

x

,

y(1) = 6